11.2. Напряжения при совместном действии растяжения (сжатия) с изгибом

Рассмотрим сочетание косого изгиба (см. рис.10.29) и осевого нагружения (растяжения или сжатия) прямого стержня.

На основании принципа независимости действия сил нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения стержня можно определить как алгебраическую сумму трёх напряжений: от изгиба в двух взаимно перпендикулярных плоскостях и от действия продольной силы т.е.

. (11.10)

Подставляя в (11.10) значение напряжений из (5.4) и (10.23) получим

. (11.11)

Каждое из слагаемых должно быть подставлено в (11.11) со своим знаком, определяемым по соответствующим эпюрам нормальных напряжений или, что то же самое, по характеру деформации бруса.

В случае плоского изгиба формула (11.11)принимает вид

. (11.12)

Условие прочности проверяется для наиболее напряжённой точки сечения из известного соотношения

,

которое для общего случая принимает вид

, (11.13)

а для случая плоского изгиба

. (11.14)

Применение условия прочности при совместном действии сжатия с изгибом покажем на небольших примерах.

Пример 11.5. Для наиболее напряжённого сечения арки, рассмотренной в примере 11.3, произвести проверку прочности.

Арка выполнена из двух швеллеров № 30 (прил. 7). Геометрические характеристики сечения: A = 2∙40,5 =81 см², W_z = 2∙387 = 774 см³.

Расчётное сопротивление стали марки С245 R_y = 240 МПа, γ_с =1,0.

Наибольшие усилия (см. табл.11.2 и рис. 11.8, б):

для сечения 5 M = – 146,25 кН·м, N = – 322,97 кН;

для сечения 6 M = – 135 кН·м, N = – 341,42 кН.

Из приведённых значений видно, что наибольшими по абсолютной величине будут сжимающие напряжения (min).

Решение.

Используя выражение (11.4) с учётом симметричности формы сечения арки, запишем условия прочности для обоих выбранных сечений:

для сечения 5

кПа < R_y = 240 МПа,

для сечения 6

кПа < R_y = 240 МПа.

Условия прочности для обоих сечений выполняются с запасом прочности по наиболее напряжённому: 100(240 – 234,33)/240 = 2,36%.

Пример 11.6. Для шпренгельной балки, рассмотренной в примере 11.4 (см. рис.11.11) подобрать из условия прочности сечения верхнего пояса, работающего в условия совместного действия сжатия с изгибом.

Сечение принять двутавровое (прил. 6). Расчётное сопротивление для стали марки С245 R_y = 240 МПа, γ_с = 0,9.

Наибольшие усилия в верхнем поясе балки (см. рис. 11.11, д):

M = – 240 кН·м, N = – 160 кН.

Решение.

1. Производим предварительный подбор сечения верхнего пояса из условия прочности на изгиб

м³ = 1111 см³.

Принимаем с запасом двутавр № 20 (A = 26,8 см², W_z = 1840 см³).

2. Производим проверку прочности принятого сечения для сжатых наиболее напряжённых волокон сечения

кПа < γ_сR_y = 0,9∙240 =216 МПа.

Условие прочности выполняется, запас прочности составляет

100(216 – 190,13)/216 = 12 %, что вполне допустимо.