11.1.2. Трёхшарнирные арки

Аналитический расчёт арок включает в себя определение опорных реакций и вычисление усилий в сечениях арки. Определение опорных реакций было подробно описано в подразд. 3.2.3. Поэтому задачей данного параграфа является, главным образом, определение усилий.

Рассмотрим трёхшарнирную арку с опорами на одном уровне и для сравнения – простую балку того же пролёта и загруженную той же нагрузкой, что и арка (рис.11.7, а).

При определении вертикальных опорных реакций в арке и балке при помощи уравнений равновесия ∑M_A =0 и ∑M_B =0 легко убедиться в том, что вертикальные реакции в балке и арке одинаковы

; . (11.1)

Для определения распора воспользуемся одним из уравнений (3.8), а именно

= V_A∙l₁ – F₁(l₁– a₁) – F₂(l₁– a₂) – F₃(l₁– a₃) – H∙f = 0.

Первые четыре слагаемых в полученном выражении, с учётом (11.1), представляют собой выражение для изгибающего момента в сечении С простой балки, что даёт возможность записать

. (11.2)

Для определения усилий рассмотрим произвольное сечение k с координатами x_k и y_k и углом наклона к горизонту φ_k (рис.11.7, б), образованному касательной t к оси арки в сечении k.

На основании общих правил определения усилий в произвольном сечении стержневой расчётной схемы запишем

M_k = =V_A∙ x_k – F₁(x_k – a₁) – F₂(x_k – a₂) –H∙ y_k; (11.3)

Q_k = =(V_A – F₁– F₂) cos φ_k –H sin φ_k ; (11.4)

N_k = = – (V_A – F₁– F₂) sin φ_k –H cos φ_k . (11.5)

В полученных выражениях первые члены

V_A∙ x_k – F₁(x_k – a₁) = и (V_A – F₁– F₂) = (11.6)

представляют собой изгибающий момент и поперечную силу, соответственно, в сечении k простой балки.

Подставляя (11.6) в (11.3 – 11.5) получим выражения для усилий в произвольном сечении трёхшарнирной арки

M_k = –H∙ y_k; (11.7)

Q_k = cos φ_k –H sin φ_k ; (11.8)

N_k = – [ sin φ_k + H cos φ_k]. (11.9)

Выражения (11.7 – 11.9) свидетельствуют о том, что эпюры усилий в трёхшарнирных арках криволинейны.

Применение записанных формул для расчёта арки рассмотрим на конкретном примере.

Пример 11.3. Построить эпюры усилий для трёхшарнирной арки, изображённой на рис. 11.8, а. Ось арки очерчена по квадратной параболе

с началом координат в левой опорной точке арки.

Решение.

1. Определяем геометрические характеристики расчётных сечений арки.

Принимаем шаг расчётных сечений арки Δx = 3,0 м.

Координаты расчётных сечений при принятом шаге определяются по вышеприведённому уравнению параболы.

Углы наклона касательных в расчётных сечениях определяем по их тангенсу

.

Тогда необходимые для применения формул (11.8) и (11.9) значения тригонометрических функций могут быть вычислены по зависимостям

; .

Необходимые для расчёта значения координат и тригонометрических функций для рассматриваемой арки представлены в табл. 11.1.

Таблица 11.1