12.3. Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений (принцип Ж. Лагранжа) является одним из основных положений теоретической механики, рассматривающей абсолютно твердые недеформируемые тела.

Суть принципа возможных перемещений состоит в следующем.

Для того, чтобы система, имеющая идеальные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к ней сил на любой совокупности возможных перемещений равнялась нулю.

Принцип Лагранжа может быть использован в задачах статики при определении реакций в связях вместо уравнений равновесия.

Применение принципа Лагранжа поясним на следующем примере.

Рассмотрим двухпролётную шарнирно консольную балку (рис.12.3, а), загруженную распределённой нагрузкой q и силами F₁, F₂. Поставим задачу определить реакцию R_B. Для этого удалим связь B и по её направлению зададим любое возможное перемещение Δ_B (рис. 12.3, б). Поскольку после удаления связи балка превратилась в механизм с одной степенью свободы, построить схему изменения этого механизма не представляет трудности, полагая заданное перемещение малым. В результате все точки балки, кроме опорных, получили перемещения.

Для полученной схемы механизма применим принцип возможных перемещений, т.е. составим сумму возможных работ для всех сил, точки приложения которых получили перемещения:

– R_q∙Δ_К + R_B ∙Δ_B – F₁∙Δ_С + F₂∙Δ_F = 0,

где: R_q = 1,2q – равнодействующая распределённой нагрузки; Δ_К – перемещение точки приложения равнодействующей распределённой нагрузки.

Все указанные перемещения выразим через одно, например Δ_С , введя общий множитель: Δ_С = Δ, Δ_B = Δ/1,2, Δ_К = 0,5Δ, Δ_F = 0,25Δ.

Уравнение работ после подстановки значений перемещений и заданной нагрузки примет вид

–1,2ql∙0,5Δ + R_B∙Δ /1,2– 0,5ql∙Δ + ql∙0,25Δ = 0.

Сократив все члены полученного выражения на Δ, определим, что R_B = 1,02 ql. Знак плюс означает, что принятое направление опорной реакции R_B правильное.

Принцип возможных перемещений применим при расчёте не только абсолютно твёрдых тел. Он может быть распространён и на упругие тела, если в сумме возможных работ учесть и работу внутренних сил (12.13).

Тогда в применении к упругим деформируемым системам принцип возможных перемещений можно сформулировать следующим образом:

если упругая деформируемая система под действием приложенных к ней внешних сил находится в равновесии, то при всяком возможном бесконечно малом перемещении точек этой системы сумма работ её внешних и внутренних сил равна нулю.

Приведённая формулировка принципа возможных перемещений приводит к тому же результату, что и закон сохранения энергии, т.е. к формуле (12.15).

12.4. Основные теоремы строительной механики

12.4.1. Теоремы о взаимности возможных работ и взаимности возможных перемещений

Рассмотрим два состояния упругой системы (рис.12.4), в каждом из которых произведём загружение в два этапа двумя внешними силами F_i и F_k: для состояния 1 (рис.12.4, а) в последовательности F_i, F_k; для состояния 2 (рис.12.4, б) – F_k, F_i.

Состояние 1. На первом этапе загрузим упругую систему силой F_i, статически возрастающей от нуля до своего конечного значения. Сила F_i совершит действительную работу на вызванном ею перемещении Δ_ii. На втором этапе к уже деформированной упругой системе приложим силу F_k. Тогда сила F_i, оставаясь неизменной, совершит возможную работу на перемещении Δ_ik, а сила F_k – действительную работу на перемещении Δ_kk.

Тогда полная работа, совершённая приложенными силами в состоянии 1 будет:

T₁ = 0,5 F_i Δ_ii + F_i Δ_ik + 0,5 F_k Δ_kk.

По аналогии, рассматривая загружение упругой системы в состоянии 2, получим:

T₂ = 0,5 F_k Δ_kk + F_k Δ_ki + 0,5 F_i Δ_ii.

В рассмотренных двух состояниях одной и той же упругой системы конечный результат деформирования одинаков, следовательно, одинакова потенциальная энергия деформации. Так как потенциальная энергия есть работа внутренних сил (12.14), а последняя на основании принципа возможных перемещений (12.15) по абсолютной величине равна работе внешних сил, то

T₁ = T₂.

Приравнивая полученные выше выражения полных работ для обоих рассмотренных состояний, после сокращения одинаковых величин в правой и левой частях равенства, получим

F_i Δ_ik = F_k Δ_ki, (12.16)

или в краткой форме

T_ik = T_ki . (12.17)

Таким образом, возможная работа сил состояния i на перемещениях, вызванных силами состояния k, равна возможной работе сил состояния k на перемещениях, вызванных силами состояния i.

Этот вывод носит название теоремы о взаимности возможных работ (теоремы Э. Бетти).

Любое действительное перемещение, как указывалось выше, можно представить в форме (12.1).

Тогда перемещения Δ_ik и Δ_ki, входящие в выражение теоремы о взаимности возможных работ (12.16), могут быть представлены как

Δ_ik =δ_ik F_k; Δ_ki = δ_ki F_i.

Подставив данные выражения в (12.16) и произведя сокращения в правой и левой частях равенства, получим

δ_ik = δ_ki. (12.18)

Равенство (12.18) является аналитическим выражением теоремы о взаимности возможных перемещений (теоремы Дж. Максвелла): возможное перемещение по направлению i от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению k, численно рано возможному перемещению по направлению k от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению i.