4. Однофакторный факторный эксперимент

В однофакторном планировании влияние входных параметров (факторов) на выходной параметр изучается постепенно, причем в серии опытов меняется уровень лишь одного фактора, а остальные остаются неизменными. Такой вид планирования применяется не часто, обычно для решения каких-то несложных задач. В процессе однофакторного эксперимента исследуемые факторы варьируют, а остальные оставляют на постоянном уровне.

Чтобы исключить влияние неуправляемых факторов, им придают среднее значение или рандомизируют, т. е. делают случайными. Рандомизация усредняет по всем опытам действие управляемых факторов. Наиболее простой способ рандомизации — случайная последовательность проведения всех о (определяется по таблицам случайных чисел или с помощью специальных операторов на ЭВМ).

Планирование однофакторного эксперимента в основном сводится к выбору числа уровней факторов и определению повторных опытов т на каждом уровне. Число повторений т может быть выбрано по таблицам на основе задания допустимой ошибки и доверительной вероятности.

Вид функции отклика (линейная, степенная, логарифмическая и т. д.) или математическую модель объекта исследовании устанавливают, исходя из физических представлений о самим объекте или на основе опыта предыдущих исследований.

При однофакторномпланировании влияние входных параметров (факторов) на выходной параметр изучается постепенно, причем в каждой серии опытов меняется уровень лишь одного фактора, а все остальные остаются неизменными. Такой вид планирования применяется не часто, обычно для решения каких-то несложных задач, а также если исследовать не знаком с методами многофакторного планирования. В процессе однофакторного эксперимента исследуемые факторы варьируют, а остальные поддерживают на постоянном уровне.

Чтобы исключить влияние неуправляемых факторов, им задают среднее значение или рандомизируют, т.е. делают случайными. Рандомизация усредняет по всем опытам действие неуправляемых факторов. Наиболее простой способ рандомизации – случайная последовательность проведения всех опытов.

Планирование однофакторного эксперимента в основном сводится к выбору числа уровней факторов и определению повторных опытом m на каждом уровне. Число повторений m может быть выбрано по таблицам на основе задания допустимой ошибки и доверительной вероятности.

При обработке экспериментальных данных одной из важных задач является задача определения вида функциональной зависимости, наилучшим образом описывающей экспериментальные данные. Это связано с тем, что изначально правильно подобранный вид адекватной математической модели освобождает исследователя от повторных вычислений и тем самым повышает эффективность исследовательской работы. Зачастую трудно решить, какую из моделей выбрать. В настоящее время эта проблема решается использованием ЭВМ и специального программного обеспечения, однако в определенных ситуациях требуется решить подобные задачи оперативно без применения ПК. Выбор модели, как правило, должен производиться с использованием результатов предыдущих исследований (если таковые имеются в наличии), а также на основании детального изучения физических закономерностей формирования изучаемого процесса или явления. В целях выбора функциональной связи заранее выдвигают гипотезу о том, к какому классу может принадлежать функция f, а затем подбирают «лучшую» функцию в этом классе. Выбранный класс функций должен обладать некоторой «гладкостью», т.е. «небольшие» изменения значений аргументов должны вызывать «небольшие» изменения значений функций.

В общем случае различают два вида уравнений регрессии (эмпирических моделей) – нелинейные, статистический анализ которых осуществляется методом «нелинейной регрессии», и линейные, статистический анализ которых проводится методом «линейной регрессии».

Для набора нелинейных эмпирических функций регрессии в настоящее время существуют два основных метода:

• линеаризация, т.е. приведение нелинейных функций к линейному виду с помощью специальных преобразований;

• аппроксимация исследуемых зависимостей многочленами (параболами).

Необходимо отметить, что не существует строгих математических методов, которые позволили бы «априори», т.е. до проведения регрессионного анализа, указать общий вид функции. Обычно на практике вид функции регрессии выбирают по характеру расположения точек на корреляционном поле. Необходимо отметить, что выбор общего вида экспериментальной функции не является однозначным, т.е. одну и ту же экспериментальную зависимость можно аппроксимировать либо многочленом, либо показательной, степенной или логарифмической функцией, т.е. функциями, допускающими линеаризации.

Рассмотрим второй основной метод подбора нелинейных эмпирических функций регрессии, т.е. аппроксимацию используемых зависимостей многочленами (параболами) вида

Для обоснования выбора порядка (максимальной степени) параболы необходимо исходить из следующего:

• наибольшее число экстремальных точек, которые может иметь парабола порядка n, равно (n – 1), т.е. парабола второго порядка может иметь не больше одного экстремума, парабола третьего порядка – не более двух экстремальных точек и т.д.;

• согласно теореме Вейерштрасса, любую непрерывную функцию (в нашем случае неизвестную истинную криволинейную функцию регрессии) можно приблизить на конечном интервале сколь угодно точно параболой порядка n;

• в большинстве случаев при обработке экспериментальных данных оказывается, что аппроксимация эмпирических зависимостей параболами выше четвертого порядка приводит к очень незначительному увеличению точности. Поэтому считается практически нецелесообразным применять параболы выше четвертого порядка.

Для определения степени полинома используют метод тождественности разделенных или неразделенных разностей.

Метод определения тождественности разделенных и неразделенных разностей

Если в результате эксперимента получены следующие пары значений , то разделенными разностями первого порядка называются величины

и неразделенными разностями первого порядка – величины

Неразделенные разности первого порядка используют, когда интервал варьирования факторов постоянный.

Сравнивают между собой неразделенные разности. Если разница между ними не превышает удвоенной величины среднеквадратической ошибки эксперимента, то можно считать их тождественными и принять для описания экспериментальных данных линейное уравнение.

Вид функции отклика (линейная, степенная, логарифмическая и т.д.) или математическую модель объекта исследования устанавливают, исходя из физических представлений о самом объекте или на основе опыта предыдущих исследований.

При отсутствии таких сведений функцию отклика представляют в виде полинома. В простейшем случае выбирают полином первого порядка

,

где d₀ и d₁ – коэффициенты регрессии; - среднее значение входного фактора.

Значение d₀ показывает, в какой точке линия регрессии пересекает ось ординат. Физический смысл коэффициента d₁ заключается в том, что он показывает, на какую величину изменяется переменная Y при изменении X на единицу.

Если закон случайных величин не является нормальным, то регрессионная математическая модель в общем случае будет линейной.

Для того чтобы решить данное уравнение, необходимо подобрать так коэффициенты регрессии d₀ и d₁, чтобы обеспечить минимум ошибки аппроксимации экспериментальных данных. Общепринятым при решении подобных задач является метод наименьших квадратов (МНК), разработанный К. Гауссом (1809 г.) и А. Марковым (1900 г.).

• Значения величин ошибок и факторов независимы, а значит, и некоррелированы;

• Математическое ожидание ошибки ε должно быть равно нулю (постоянная составляющая входит в коэффициент d₀), иначе говоря, ошибка является центрированной величиной;

• Выборочная оценка дисперсии ошибки должна быть минимальна.

Физический смысл данного метода заключается в том, что требование наилучшего согласования теоретической (выравнивающей, сглаживающей, аппроксимирующей) кривой и экспериментальных точек сводится к тому, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от теоретической кривой была минимальной, т.е.

По МНК параметры d_o и d₁ модели определяются из следующих уравнений:

Где X_i, Y_i – результаты эксперимента; - среднее значение функции.

После получения математической модели проверяют ее адекватность, т.е. соответствие реальному процессу, и значимость вычисленных коэффициентов регрессии. Если уравнение регрессии не адекватно, переходят к более сложной модели.