5.5. Планы дробного факторного эксперимента (планы дфэ)

 

При многофакторном эксперименте, особенно когда число факторов больше шести (n > 6), число опытов планов ПФЭ 2ⁿ (N = 2ⁿ) становится чрезмерным. Если нам не требуется определение всех коэффициентов неполного квадратичного полинома, то переходят к дробному факторному эксперименту (ДФЭ) – части полного факторного эксперимента.

Число необходимых опытов в условиях линейной модели сущест­венно сокращается при проведении дробных факторных эксперимен­тов (дробных реплик от ПФЭ). В качестве реплики обычно использует­ся полный факторный эксперимент для меньшего числа факторов. При этом вычисление коэффициентов уравнения и оценка их значимости проводится так же, как и в рассмотренных выше примерах ПФЭ 2² и 2³. Число опытов в дробной реплике должно быть больше или равно числу неизвестных коэффициентов в уравнении регрессии.

Алгоритм дробного факторного эксперимента (ДФЭ). Введение. Полный факторный эксперимент явля­ется весьма эффективным средством получения матема­тической модели исследуемого объекта особенно при числе факторов n>3. Однако увеличение числа факторов приводит к резкому увеличению числа опытов. Так, ПФЭ 2⁶ требует постановки 64 опытов, а 2⁷ – 128 опытов. Ко­нечно, точность модели при увеличении числа опытов также возрастает, однако, известно, что увеличение числа опытов приводит к большим затратам средств и време­ни.

Практика показывает, что для получения достаточно точных оценок коэффициентов регрессии можно обой­тись малым количеством опытов, вводя понятие дробного факторного эксперимента (или дробных реплик), который представляет собой некоторую часть ( и т.д.) от полного факторного эксперимента (см. 1.1.3).

Сокращение числа опытов влечет за собой появле­ние корреляции между некоторыми столбцами матрицы планирования. Это обстоятельство не позволяет раз­дельно оценивать эффект факторов и эффекты взаимо­действия. Получаются так называемые смешанные оценки.

Определения. Для дробных реплик используют спе­циальные алгебраические соотношения, облегчающие выявление смешанных эффектов. Они называются гене­рирующими соотношениями и определяю­щими контрастами.

Генерирующим называется соотношение, которое по­казывает, какое из взаимодействий принято незначимым, а потому заменено в матрице планирования новой неза­висимой переменной. Так, рассмотренный в табл.1.10 план типа задавался генерирующим соотношением

.

Таблица 1.10. План эксперимента

Номер опыта	x0	План			Выходная переменная
		x1	x2	x3=x1 x2
1 2 3 4	+1 +1 +1 +1	+1 –1 +1 –1	+1 +1 –1 –1	+1 –1 –1 +1	y1 y2 y3 y4

С генерирующими соотношениями можно производить алгебраические операции: умножать обе части равенст­ва на любые эффекты – линейные и определенные взаимодействия. При этом, если фактор входит в уравнение в квадрате или в другой четной степени, то он заменяет­ся единицей . Умножив генерирую­щее соотношение для плана на х₃:

,

или, учитывая вышесказанное, получим

.

Это и есть определяющий контраст – соотно­шение, которое задает элементы первого столбца матрицы (как известно, элементы первого столбца матрицы рав­ны 1).

План эксперимента. Зная определяющий контраст, можно найти соотношения, задающие все смешанные оценки для данной дробной реплики. Для этого опреде­ляющий контраст умножается на каждый фактор. В рас­сматриваемом примере для первой полуреплики от плана 2³ смешанные оценки коэффициентов регрессии задают­ся следующими соотношениями:

;

;

,

что соответствует оценкам

; ; .

Замечание. Эффективность системы смешивания фак­торов и взаимодействий факторов определяется так на­зываемой разрешающей способностью мат­рицы. Она считается максимальной, если линейные эф­фекты смешаны с эффектами взаимодействия, наиболь­ших по числу факторов в него входящих. Так, при выборе полуреплики возможны восемь решений

1. ; 5. ;

2. ; 6. ;

3. ; 7. ;

4. ; 8. .

Согласно принятому определению, наибольшая раз­решающая способность у реплик 7 и 8, они называют­ся главными. При наличии априорной информации и значимости взаимодействий факторов можно разрабо­тать наилучшую систему смешивания оценок. Если эти сведения отсутствуют, то выбирают реплику с наиболь­шей разрешающей способностью, поскольку тройные взаимодействия обычно менее важны, чем двойные.

Остальные этапы алгоритма – расчет коэффициентов регрессии и статистический анализ уравнения – не отли­чаются от приведенных выше.