. Насыщенный и сверхнасыщенный планы факторного эксперимента

Введение. Одной из целей использования математи­ческой модели является грубая оценка степени воздейст­вия факторов на выходную переменную объекта исследо­вания. Эта цель может быть достигнута различными ме­тодами но всех их объединяет условие минимизации числа экспериментов. Этот критерий привел к построению насыщенных и сверхнасыщенных планов экспериментов, позволяющих разделить всю совокупность факторов на два класса: доминирующие факторы и «шумовой» фон (несущественные факторы).

Определение. Ненасыщенность, насыщен­ность и сверхнасыщенность планов определя­ются соотношением числа опытов плана эксперимента N и числа определенных параметров l:

N-l >0 – ненасыщенный план;

N-l = 0 – насыщенный план;

N–l < 0 – сверхнасыщенный план.

Замечание. Рассмотренные ранее планы ПФЭ и ДФЭ были ненасыщенными, а симплекс-решетчатые планы – насыщенными.

2.2.1. Алгоритм насыщенного плана дробного фак­торного эксперимента. Исходные данные. Имеется сово­купность факторов, воздействующих на объект исследо­вания. Известно, что степень влияния этих факторов на выходную переменную различна. Предлагается выде­лить существенные факторы с помощью минимально воз­можного числа экспериментов.

План эксперимента. Использование плана дробного факторного эксперимента в качестве насыщенного воз­можно при числе факторов n = 3 (N = 4), n = 7 (N = 8), n = 15 (N = 16), n = 31 (N = 32) и т.д. В этом случае можно получить математическую модель и использовать t-критерий для отсеивания факторов.

Наличие смешанных оценок по этому плану для ре­шения задачи отсеивания факторов не играет серьезной роли.

Расчет коэффициентов b₀, b₁, ..., b_i, ... и оценка значи­мости факторов проводятся по алгоритмам 1.5.5 и 1.5.2 (в этом случае, естественно, достаточно провести парал­лельные опыты в одной точке).

Принятие решений. Коэффициенты, для которых t_ip оказалось меньше t_T (1.91) (f₀= N₀—1, q = 0,05), отно­сят к «шумовому» фону, остальные – считают значимы­ми. Иногда проверку значимости проводят по формуле, эквивалентной условию (1.91):

(2.23)

где – абсолютное значение i-го коэффициента; t_T – табличное значение критерия Стьюдента; – среднеквадратичное отклонение i-го коэффициента

. (2.24)

В этом случае коэффициенты, не удовлетворяющие условию (2.23), относятся к «шумовому» фону.

2.2.2. Алгоритм насыщенного плана Плакетта - Бермана. Исходные данные те же, что и в предыдущем ал­горитме.

План эксперимента и его построение. Плакеттом и Берманом были сконструированы ортогональные насы­щенные планы, число экспериментов в которых кратно четырем:

N = 4p, p = 1, 2, ... . (2.25)

Используя эти планы, можно исследовать объекты, имеющие (4р – 1) факторов. Такие планы более выгод­ны, чем насыщенные планы ДФЭ, поскольку удовлетво­ряют условиям исследования через четыре фактора.

Алгоритм построения планов следующий. Факторы изменяются на двух уровнях: +1 и – 1.

Первая строка матрицы плана задается таблицей 2.4, вторая и последующие строки получаются сдвигом всех элементов влево (или вправо) и перестановкой крайнего элемента на образовавшееся свободное место с другой стороны строки. Получаются одинаковые знаки по диа­гоналям матрицы. Этот процесс повторяется (N – 2) раз.

Таблица 2.4 Первые строки планов Плакетта – Бермана

Номер опыта	Первая строка матрицы плана
8 12 16 20 24	+ + + - + - - + + - + + + - - - + - + + + + - + - + + - - + - - - + + - - + + + + - + - + - - - - + + - + + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - -

Последняя строка плана составляется только из эле­ментов – 1. Матрица плана имеет размерность N×(N – 1).

Построенные таким образом планы являются ортого­нальными и поэтому расчет коэффициентов и оценка их значимости проводится обычными методами (см. алго­ритм 1.5.2).

Замечание 1. Иногда применяется несколько иной ал­горитм построения плана, дающий тот же результат. Строка табл. 2.4 используется для построения столбца плана. Следующий столбец получается сдвигом элемен­тов первого столбца вниз или вверх и т.д. Последняя строка составляется из элементов – 1.

Замечание 2. Построение планов Плакетта-Бермана для N=28 и выше приведено в [6].

Замечание 3. Для расчета ошибки опыта в планах Плакетта-Бермана часто используют прием фиктив­ных переменных. Он заключается в том, что недостающие факторы (например, если в объекте n=12, а план преду­сматривает n=15, то недостающих факторов n= 3) за­меняются фиктивными факторами. Эффекты этих фак­торов отличаются от нуля, если их взаимодействия зна­чимы и ошибки измерения отсутствуют. Если считать, что величины взаимодействия факторов малы, а – k эффектов (коэффициентов) фиктивных перемен­ных, то ошибка опыта будет определяться по формуле

(2.26)

где N – число опытов по матрице планирования; п – число факторов; N – (n+1) – число фиктивных факторов.

Далее оценка проводится по (1.119), (1.131) и (2.23), (2.24). Табличное значение критерия Стьюдента находят для f=N – (n+1) степеней свободы.

Принятие решений не отличается от предыдущего ал­горитма.

2.2.3. Алгоритмы метода случайного баланса (сверх­насыщенный план). Исходные данные те же, что и в пре­дыдущих алгоритмах.

В плане эксперимента по методу случайного баланса исследуемые факторы варьируются на двух уровнях – верхнем и нижнем. Для построения матрицы планирова­ния предлагается «чистый» случайный баланс, при кото­ром распределение уровней в столбцах осуществляется по таблице случайных чисел, или случайное смешивание двух дробных планов ПФЭ. Один из возможных планов случайного баланса (случайное смешивание ДФЭ и ) приведен в табл. 2.5. Условие должно выполняться всегда. Этот план может использоваться и для меньшего числа факторов.

Таблица 2.5. План эксперимента

Номер опыта

План

Выходная переменная

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

- + - + - + - + - + - + - + - +

- - + + - - + + - - + + - - + +

+ - - + - + + - + - -+ - + + -

+ + + + - - - - - - - - + + + +

+ - + + - + - - - - + + + - - +

- - - + + + + - + + - - + - -+

+ - - - + + + - - - + + - + + +

- - + - + - - + + - - - + + + +

+ - + + - + + - - - + - - + + -

- + + + - + + - + - - - + + + +

+ - + - + + - + + - - - + + - -

+ - - + - - + - + - - - + + + +

- - + - - + + - + + - + + - + -

+ + - + - + - - + + - - - - + +

y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11 y12 y13 y14 y15 y16

. . . . . . . . . . . .

Рис. 2.2. Построение диаграмм рассеивания.

Диаграммы рассеивания строят с целью выделения факторов или их взаимодействий. Выделение осуществ­ляют визуально. Диаграммы рассеивания строят так: по оси абсцисс откладывают значения факторов для уров­ней «+» и «–», а по оси ординат – значения выходной переменной (рис. 2.2.).

В каждом столбце x_i диаграммы рассеивания разме­щены все значения выходной переменной, которые раз­биваются на две группы. Одна из групп соответствует тем опытам, где фактор был на нижнем уровне, другая – где фактор был на верхнем уровне.

Среди опытных данных на каждом уровне находят медиану Ме. Медианой называется линия, по обе сторо­ны которой находится одинаковое число точек. При не­четном числе точек медиана проходит через среднюю точ­ку. Разность между медианами ∆Ме двух уровней харак­теризует качественное влияние фактора х_i на выходную переменную. Таким образом, построение диаграммы рас­сеивания позволяет визуально по максимальному значе­нию ∆Ме выделить наиболее значимые факторы. Для этой же цели используют так называемые выделяющиеся точки L в нижней и верхней частях диаграммы рассеивания. Для фактора х₁ их число равно 6+6=12, для факторов х₃ и х₁₀ соответственно 3+5=8 и 1+2=3 и т. д. На рис. 2.2 группы выделяющихся точек отмече­ны фигурными скобками.

Примечание. Иногда в качестве критерия значимости факторов на диаграмме рассеивания используют произ­ведение разности между медианами на число выделяю­щихся точек

. (2.27)

Последовательное выделение существенных факто­ров. Для количественной оценки факторов нужно отде­лить значимые факторы от незначимых. Процедура вы­деления такова. Выбирают два-три фактора, имеющие максимальную разность между медианами или макси­мальное число выделяющихся точек. Строят таблицу с тремя или двумя входами. Допустим, это будут факто­ры х₁, х₃, х₄ (см. табл. 2.5). В клетки табл. 2.6 записы­вают значения выходной переменной для различных ком­бинаций уровней. Так, в первой клетке (слева вверху) записаны значения у₄ и y₁₄ – те значения, которые полу­чились, когда х₁, х₃, х₄ были на верхнем уровне и т. д.

Таблица 2.6. Подготовка данных для оценки линейных эффектов

x4	x3 –		х1 –
	x3+	x3 –	x3+	x3 –
«+»
«–»

Вычисление линейных эффектов производят по форму­лам, смысл которых ясен из уравнений

;

; (2.28)

.

Оценки коэффициентов производят по формуле

. (2.29)

Усреднение в клетках таблицы приходится делать по­тому, что в случайно организованном плане эксперимен­та различным комбинациям уровня соответствует раз­личное число наблюдений.

Если есть основания к изменению выходной перемен­ной принять гипотезу нормального распределения, то зна­чимость эффектов можно оценить по критерию Стьюдента

, (2.30)

где m_i – число наблюдений в i-ой клетке таблицы; – остаточная дисперсия, находится как среднее по каж­дой для i-ой клетки таблицы; число степеней свободы , a – число среднеарифметических значений в таблице с несколькими входами. Оценку рассеивания для каждой клетки находят относительно средних значений этой же клетки.

Оценка значимости эффектов по критерию Стьюдента вследствие громоздкости расчетов проводится не все­гда.

Корректировка исходного вектора матрицы плана. После выделения эффектов проводят корректировку ис­ходных данных матрицы плана. Для этого от всех у_N в плане эксперимента, где факторы х_i находятся на уров­не «+», уменьшают на эф. x_i. Получают новый вектор результатов эксперимента , освобожденный от влия­ния фактора x_i. Далее строится новая диаграмма рассеи­вания и алгоритм повторяется.

Таким же образом производится отсеивание эффек­тов парных взаимодействий.

Принятие решений. Процесс выделения существенных факторов можно закончить, если выполняется условие

. (2.31)

где – оценка дисперсии результатов эксперимента относительно их среднеарифметического значения на r-ом шаге процедуры; – ошибка опыта, полученная по нескольким параллельным наблюдениям.