5.11. Планы для экспериментирования в условиях дрейфа

Блочные планы, ортогональные к дискретному дрейфу, пред­ставляют собой обычные планы типа ПМА, сбалансированные так, чтобы часть столбцов плана использовалась для оценки эффектов дискретного дрейфа независимо от эффектов исследуемых факто­ров.

Планы, ортогональные к непрерывному дрейфу, могут быть построены на основе таблиц полиномов Чебышева. Они исполь­зуются для изучения линейных эффектов управляемых коли­чественных факторов независимо от полиномиального дрейфа любого порядка. В случае необходимости оценки также и взаимо­действий управляемых факторов используют обычные планы 2*, отбирая те столбцы планов, которые имеют минимальные корреля­ции с эффектами дрейфа. К этим же планам относятся планы Кокса, предназначенные для изучения одной количественной или качественной переменной, варьируемой на двух, трех, четырех уровнях в условиях дрейфа второго и третьего порядков.

Комбинированные планы для совместного изучения коли­чественных и качественных переменных в условиях непрерывного полиномиального дрейфа получают соответствующим комбини­рованием планов Чебышева и планов Кокса.

Планы для экспериментирования в условиях дрейфа исполь­зуются для исключения влияния неоднородностей типа дискрет­ного и непрерывного дрейфа на исследуемые эффекты и оценки этого влияния независимо от эффектов варьируемых факторов и составляют основу группы планов ковариационного анализа.

Факторный эксперимент при изучении смесевых систем

Введение. Задача факторного эксперимента при изу­чении смесевых систем не отличается от задачи фактор­ного эксперимента второго порядка, изложенной в 1.6. Однако при изучении свойств смесей, зависящих только от соотношений компонентов, желательно учитывать условие

, (2.1)

где x_i – относительные концентрации компонента (х_i 0); п – количество компонентов (n 2).

Условие (2.1) не позволяет использовать планы ПФЭ и модели типа (1.97) – матрица (Х^ТХ)^-1 оказывается вырожденной.

Шеффе ввел каноническую форму полинома степе­ни п:

. (2.2)

где

; .

Наиболее часто пользуются следующими приведен­ными (каноническими) полиномами:

(2.3)

- полином второго порядка для трехкомпонентной смеси;

(2.4)

- полином неполного третьего порядка для трехкомпо­нентной смеси;

(2.6)

– полином четвертого порядка для трехкомпонентной смеси.

Пояснение. От стандартного полинома, например, вто­рого порядка

(2.7)

к полиному Шеффе (2.3) переходят путем несложных преобразований условия

в условия

;

;

; (2.8)

;

и подстановкой (2.8) в (2.7). Получают

(2.9)

.

Симплекс-решетчатые планы Шеффе. Известно, что геометрическое место точек, удовлетворяющее условию (2.1), представляет собой п-1 правильный симплекс. Тогда факторное пространство может быть представ­лено симплексами с такой же системой координат. Пла­нирование на симплексах осуществляется равномер­ным разбросом экспериментальных точек. Получаются {п, m} – решетки, где п – число компонентов смеси; т – порядок полинома. Примеры {3, т} – решеток с при­нятыми обозначениями выходной переменной приведены на рис. 2.1.

Симплекс-решетчатые планы частично композицион­ные. Неполную кубическую решетку {3, 3*} (рис. 2.1, б) можно получить из {3,2} (см. рис. 2.1,а) добавлением одной точки в центре симплекса; решетку {3, 4} (см. рис. 2.1, г) – добавлением точек к решетке {3, 2} (см. рис. 2.1, а).

2.1.1. Алгоритм симплекс-решетчатых планов второ­го порядка для трехкомпонентной смеси. Исходные дан­ные. Имеется трехкомпонентная смесь. Необходимо по­лучить зависимость некоторого свойства у от состава смеси в виде (2.3) и проверить ее адекватность.

План эксперимента для рассматриваемого случая приведен в табл. 2.1.

В каждой точке решетки проводится одинаковое чис­ло (т) параллельных опытов.

Расчет коэффициентов уравнения. Расчет коэффици­ентов возможен методом наименьших квадратов по урав­нению .

Рис. 2.1 {3, т} – симплексные решетки для полинома порядка:

а – второго; б – неполного третьего; в – третьего; г – четвертого.

Таблица 2.1 План эксперимента

Номер опыта	План			Выходная переменная
						…
1 2 3 4 5 6	1 0 0 0,5 0,5 0	0 1 0 0,5 0 0,5	0 0 1 0 0,5 0,5			... … … … … …

Однако, учитывая, что план эксперимента насыщен (число неизвестных коэффициентов равно числу урав­нений), несложными преобразованиями можно получить следующие расчетные уравнения:

, , или ; (2.10)

, например, . (2.11)

Проверка адекватности уравнения. Учитывая, что план эксперимента насыщенный, проверка адекватности по критерию Фишера (см. (1.92) – (1.96)) невозможна. Для проверки адекватности необходимо, выбрать не­сколько дополнительных точек плана, провести в них эксперимент и изучить разность между эксперименталь­ным значением и полученным по уравнению. Эти точки выбирают либо в интересующей исследователя области, либо в точках, которые можно использовать для построе­ния полинома более высокого порядка. Для получения дисперсии адекватности можно применять уравнение остаточной суммы

; , (2.12)

где у_эи – экспериментальные значения выходной переменной в дополнительных проверочных точках; – значения выходной переменной для условий Х_э провероч­ных точек, полученных по уравнению; g – число прове­рочных точек; – дисперсия адекватности.

Если g>2, то адекватность можно проверять по кри­терию Фишера (см. (1.94), (1.95), а ошибку опыта при равном числе параллельных опытов т рассчитать по формулам (1.138) – (1.141) (условие однородности дисперсий также необходимо проверять).

Если адекватность уравнения оценивается по одной проверочной точке, то удобнее пользоваться уравнения­ми, приведенными ниже (их доказательство в [5]). Для оценки используется t-критерий:

, (2.13)

где m – число параллельных опытов в каждой точке симплекса; разность ∆у (между экспериментальным и теоретическим выходом)

; (2.14)

– среднеквадратичное отклонение опытных дан­ных; – величина, связанная с коэффициентами урав­нения

, (2.15)

причем

; .

Ошибка опыта определяется также по формулам (1.138) – (1.141).

Проверка адекватности производится по неравенству

t_P <f_Т (l, f₀, q = 0,05) (2.16)

для заданного уровня значимости; l – число коэффици­ентов уравнения регрессии; f₀ – число степеней свободы при определении ошибки опыта.

Примечание. В некоторых исследованиях, даже если число проверочных точек g>>2, оценку адекватности урав­нения регрессии проводят в каждой точке по формулам (2.13) – (2.16).

Принятие решений. Если условие (2.16) не выполняет­ся, то уравнение регрессии признается неадекватным и его порядок повышается. Если правило композиционности выполняется, то в план включают прове­рочную точку и переходят к расчетам коэффициентов уравнения более высокого порядка.

Если условие (2.16) выполняется, то обычно строят изолинии (линии равного выхода) соответствующего свойства непосредственно на симплексе. Графическое изображение зависимостей свойство – состав позволяет решать задачи интерполяции и оптимизации (конечно, если число компонентов в смеси не превышает четырех).

Примечание. Если исследуемая смесевая система неоднородна, то возникают значительные трудности ее математического описания (о методах преодолевания этих трудностей см. [5]).