1.6. Факторный эксперимент второго порядка

Введение. Задачей факторного эксперимента второго порядка является проведение оптимального плана ис­следований, получение нелинейной модели и ее статисти­ческий анализ. Модель применяется для поиска коорди­наты оптимума и может использоваться для целей интер­поляции и экстраполяции.

Обычно факторный эксперимент второго порядка используется для описания существенно нелинейных объектов полиномом

. (1.157)

Пояснение. Построить планы, по которым можно по­лучить модель в виде (1.157) с помощью ранее рассмот­ренных алгоритмов не удается хотя бы потому, что усло­вие ортогональности в столбцах матрицы не выполняется (сумма элементов столбцов не равна нулю). Также тре­буется поставить большое число опытов. Очевидно, что планирование на трех уровнях З^п неэкономично и потому предложено дополнить план ПФЭ 2^п определенными точками факторного пространства так, чтобы выполнялось условие ортогональности или ротатабельности, но при этом число опытов таких планов было меньшим, чем ПФЭ З^п:

, (1.158)

где каждое слагаемое определяет число опытов ПФЭ 2^п, число «звездных» и число нулевых опытов (в центре плана). Из формулы (1.158) вытекает, что предлагаемые планы (при п>2) экономичнее планов на трех уровнях (обычно N₀ = 1).

Большим преимуществом таких планов является то, что их можно получать из планов 2^п. Для построения ис­пользуется план 2ⁿ, линейная модель по которому при поиске области оптимума оказалась неадекватной. Все проведенные эксперименты остаются, а план пополняется определенным количеством специально подобранных «звездных» точек. Отметим, что дробная реплика преды­дущего плана в новом плане дополняется до полного факторного эксперимента, если n≤4; при n>4 возможно использование дробных реплик. Организованные таким образом планы называются центральными и ком­позиционными. Общий вид плана приведен в табл. 1.11.

Таблица 1.11. План эксперимента

Номер опыта	x0	План					Выходная переменная
		x1	x2	x1 x2
1 2 3 4 5 6 7 8 9	+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1	+1 +1 –1 –1 +α –α 0 0 0	+1 –1 +1 –1 0 0 +α –α 0	+1 –1 –1 +1 0 0 0 0 0	+1 +1 +1 +1 0 0 0	+1 +1 +1 +1 0 0 0	y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9

Выбор плеча «звездных» точек и числа нулевых точек зависит от критерия оптимальности плана. В инженер­ной практике широко применяются ортогональные и ротатабельные планы второго порядка.

1.6.1. Алгоритм ортогонального плана второго поряд­ка (ЦКОП). Исходные данные. Имеется план ПФЭ 2ⁿ. Математическая модель, полученная по этому плану, неадекватная. Условия (1.126) остаются прежними.

Кодирование. Для получения ортогональных планов второго порядка необходимо провести некоторое преоб­разование столбцов квадратичных переменных и столб­ца х₀. Это вызвано неортогональностью указанных столб­цов матрицы планирования (см. табл. 1.11), поскольку

; (1.159)

. (1.160)

Неравенства справедливы, поскольку значения в столбцах х₀ и всегда положительны. Заметим, что в ортогональных планах на количество нулевых точек обычно не накладывают никаких условий, поэтому N₀ принимают равным единице.

Для ортогональности исходного плана введем преоб­разование

, (1.161)

тогда

.

Если приравнять недиагональный элемент ковариционной матрицы нулю и решить его относительно α, то можно найти его значение, организующее ортогональ­ность столбцов (значения α для различных п приведе­ны в табл. 1.12).

Таблица 1.12. Величина плеча для ортогональных планов второго порядка

Наименование элементов плана	Число независимых факторов
	2	3	4	5
Ядро плана	22	23	24	25-1
α	1,00	1,215	1,414	1,547

План эксперимента. Ортогональная матрица компо­зиционного плана для n=2 приведена в табл. 1.13. Зна­чения находятся по формуле (1.161)

, или .

Таблица 1.13. План эксперимента

Номер опыта	x0	План		Расчетная матрица			Выходная переменная
		x1	x2	x1 x2
1 2 3 4 5 6 7 8 9	+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1	+1 +1 –1 –1 0 0 +1 –1 0	+1 –1 +1 –1 +1 –1 0 0 0	1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 –2/3 –2/3 –2/3	1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 –2/3 –2/3 –2/3	1/3 1/3 1/3 1/3 –2/3 –2/3 1/3 1/3 –2/3	y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9

Ортогональная матрица композиционного плана для п=3 приведена в табл. 1.14. Значения находят по формуле (1. 161)

или .

Расчет коэффициентов регрессии осуществляется в соответствии с методом наименьших квадратов (см. 1.4.1). Коэффициенты и их дисперсии можно также рассчитывать по формулам

; (1.162)

; (1.163)

; (1.164)

; (1.165)

Таблица 1.14 План эксперимента

Номер опыта	x0	План			Расчетная матрица						Выходная переменная
		x1	x2	x3				x1 x2	x1 x3	x2 x3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1	+1 –1 +1 –1 +1 –1 +1 –1 1,215 –1,215 0 0 0 0 0	+1 +1 –1 –1 +1 +1 –1 –1 0 0 1,215 –1,215 0 0 0	+1 +1 +1 +1 –1 –1 –1 –1 0 0 0 0 1,215 –1,215 0	0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,746 0,746 –0,73 –0,73 –0,73 –0,73 –0,73	0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 –0,73 –0,73 –0,746 –0,746 –0,73 –0,73 –0,73	0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 0,27 –0,73 –0,73 –0,73 –0,73 0,746 0,746 –0,73	+1 –1 –1 +1 +1 –1 –1 +1 0 0 0 0 0 0 0	+1 –1 +1 –1 –1 +1 –1 +1 0 0 0 0 0 0 0	+1 +1 –1 –1 –1 –1 +1 +1 0 0 0 0 0 0 0	y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11 y12 y13 y14 y15

; (1.166)

; (1.167)

; (1.168)

, (1.169)

где – ошибка опыта, известная по полному факторному эксперименту.

Дисперсия величины b₀ оценивается по уравнению

. (1.170)

Оценка значимости коэффициентов проводится по критерию Стьюдента (см. (1.90)), а решения прини­маются в соответствии с (1.91). Благодаря ортого­нальности плана после отбрасывания незначимых коэф­фициентов оставшиеся не пересчитываются.

Проверка адекватности уравнения регрессии осуще­ствляется расчетом S_OCT сначала по формуле (1.92) и далее по формулам (1.93), (1.94), (1.95).

Значение определяется по уравнению

(1.171)

или

. (1.172)

Переход от (1. 171) к (1. 172) осуществляется ра­счетом величины свободного члена по уравнению

, (1.173)

где

.

Принятие решений осуществляется в соответствии с (1.96).

Кодирование и основы построения плана. Построение ротатабельности планов второго порядка – сложная математическая задача, требующая доказательства не­скольких теорем. Воспользуемся результатами исследо­ваний, где предлагается условия ротатабельности зада­вать уравнениями

, i = 1, 2, …, n;

(1.174)

(i j, i, j = 1, 2, …, n),

где n – число факторов; N – число опытов; и – некоторые константы, связанные неравенством

, (1.175)

которое является условием невырожденности информа­ционной матрицы (Х^ТХ).

Если ввести несколько точек на сфере с нулевым ра­диусом, т.е. несколько точек в центре плана N₀, то можно рассчитать параметр

, (1.176)

где , и усилить неравенство (1.175), поскольку

. (1.177)

«Звездные» точки ротатабельности планов строят на осях координат факторов с величиной звездного плеча , рассчитанного по формуле

, (1.178)

а для дробного факторного эксперимента

, (1.179)

где п – число факторов; р – определяет дробность реп­лики (р=1 – полуреплика, р = 2 – четверть реплики и т. д.).

Выбор , числа «звездных» и числа нулевых точек удобно делать по табл. 1.15.

Таблица 1.15. Параметры ротатабельных планов второго порядка

Наименование элементов плана	ПФЭ 2n				ДФЭ
	n=2	n=3	n=4	n=5	n=5
Число опытов в ядре матрицы Число «звездных» точек Число нулевых точек Значение	4 5 1,414	6 6 1,682	8 7 2,000	10 10 2,378	10 6 2,000

План эксперимента совпадает с ЦКОП, но при дру­гих значениях параметров , N₀ (см. табл. 1.11).

Расчет коэффициентов регрессии. Обработка резуль­татов реализации планов второго порядка требует в це­лом значительной вычислительной работы и лучше все­го ее проводить на ЭЦВМ по формуле (1.103).

Специфический характер матрицы (Х^ТХ) для ЦКРП позволяет получить общие формулы для расчета коэф­фициентов. Основная задача вычислительной машины в этом случае – выдача на печать следующих элементов обращенной матрицы:

, ;

, . (1.180)

Если обозначить

; , (1.181)

то с учетом (1.176), (1.180) и (1.181) коэффициенты регрессии можно определить по формулам

; (1.182)

; (1.183)

; (1.184)

. (1.185)

Для n=3 приведенные формулы имеют вид

; (1.186)

; (1.187)

; (1.188)

. (1.189)

Оценка значимости коэффициентов регрессии. Дисперсии для коэффициентов регрессии рассчитываются по формулам

; (1.190)

; (1.191)

; (1.192)

, (1.193)

где – дисперсия опыта.

Оценка значимости коэффициентов регрессии прово­дится так же, как и в ЦКОП.

Принятие решений. Если незначимым оказался один из квадратичных эффектов, то после его исключения уравнение регрессии необходимо посчитать заново (это связано с неортогональностью квадратичных столбцов матрицы планирования). Остальные незначимые коэф­фициенты упускаются без пересчета уравнения.

Проверка адекватности уравнения регрессии. Преоб­разования ротатабельного плана несколько изменили формулы расчета дисперсий.

Так, сумму квадратов отклонений в центре плана можно подсчитать по формуле

, (1.194)

где – число степеней свободы этой суммы; k= 1, 2, …, N₀.

Дисперсия опыта получается делением суммы (1.194) на :

. (1.195)

Остаточная сумма квадратов вычисляется так:

, , (1.196)

или

. (1.197)

Сумма квадратов S_ад, оценивающая адекватность мо­дели, подсчитывается по формуле

, . (1.198)

Расчетное значение критерия Фишера, как и ранее, формируют как отношение дисперсии адекватности к Дисперсии опыта (1.94) и (1.95) и сравнивают с таблич­ными значениями F_T для степеней свободы и по из­вестным равенствам (см. (1.96)).

Принятие решении. Если условие (1.96) не выполня­ется, то нелинейная модель, полученная по плану ЦКРП, неадекватна. В этом случае требуется изменение поряд­ка полинома (переход к полиному третьего порядка), добавление факторов в уравнение регрессии или тщатель­ный анализ ошибок в эксперименте (получающихся, на­пример, вследствие временного дрейфа).