1.5.3. Алгоритм пфэ при неравном числе параллель­ных опытов.

Введение. На практике приходится сталки­ваться с такими ситуациями, которые не позволяют при реализации эксперимента выдержать одинаковое число параллельных опытов по каждой строке матрицы плани­рования. Это происходит либо из-за случайных грубых нарушений условий эксперимента, когда измерение при­знается неудачным, а повторить его по каким-либо при­чинам не удается, либо вследствие неуверенности экспериментатора в «чистоте» опыта.

Последовательность обработки результатов экспери­мента при неравном количестве параллельных опытов не нарушается, однако алгоритмы расчета меняются вслед­ствие нарушения ортогональности матрицы планирова­ния. Это приводит к изменению расчетных формул для коэффициентов регрессии и их ошибок, а также для дис­персии адекватности.

Исходные данные не отличаются от исходных данных алгоритма 1.5.1.

План эксперимента соответствует приведенному в табл. 1.7, однако в каждой строке число параллельных опытов т_и может быть иным.

Расчет коэффициентов уравнения регрессии. Вслед­ствие неортогональности матрицы планирования расчет коэффициентов регрессии осуществляется по методу наименьших квадратов. Лучше всего использовать мат­ричную форму записи и стандартные программы ЭВМ – обращение матриц, транспонирование, расчет детер­минанта матриц и т. д. [см. 1.4.1, формула (1.103)].

Расчет ошибки опыта. Рассчитываются построчные дисперсии по формулам (1.138) и (1.139).

При усреднении построчных дисперсий пользуются средневзвешенными значениями дисперсий, взятыми с учетом числа степеней свободы f_u, для u-ой строки мат­рицы планирования:

. (1.144)

Проверка однородности дисперсий. При неравном числе параллельных опытов для проверки однородности дисперсий используется критерий Бартлета. Для этого рассчитывается величина А_р:

; (1.145)

, (1.146)

, (1.147)

где f₀ – число степеней свободы; N – число сравнивае­мых дисперсий (здесь их число равно числу строк мат­риц).

Принятие решений. Бартлет доказал, что рассчитан­ная величина А_р приближается к – распределению с N – 1 степенями свободы. Тогда, если выполняется неравенство

, , (1.148)

то дисперсии признаются однородными.

Замечание. Критерий Бартлета базируется на нор­мальном распределении случайной величины у_и. Поэтому проверка нормальности закона распределения у_и весьма желательна.

Учитывая сложность применения критерия Бартлета при неодинаковом числе параллельных опытов, практи­чески удобно использовать критерий Фишера. Для этого составляется отношение максимальной построчной дис­персии к минимальной:

. (1.149)

Очевидно, что если выполнять условие

(1.150)

при , и заданном уровне значимости q (т.е. максимальная и минимальная дисперсии отличаются незначимо), то и остальные дис­персии будут отличаться незначимо. Таким образом, ги­потезу об однородности дисперсий можно признать пра­вомерной при выполнении условия (1.150).

Проверка значимости коэффициентов регрессии не от­личается от произведенной выше при равном числе па­раллельных опытов. Следует отметить, что смысл провер­ки несколько меняется вследствие неортогональности матрицы планирования, что приводит к появлению недиагональных элементов в матрице .Однако по значениям они обычно невелики и поэтому критерий Стьюдента можно использовать как средство ранжирования коэффициентов регрессии в соответствии с формулами (1.90), (1.91), числом степеней свободы f₀ (1.147) и заданным уровнем значимости.

Принятие решений не отличается от предыдущих ал­горитмов.

Проверка адекватности уравнения регрессии. Расчет дисперсии адекватности осуществляется по формуле

. (1.151)

Физический смысл формулы таков: различию между экспериментальным и расчетным значениями выходной переменной придается тем больший вес, чем большее число опытов реализуется. Здесь т_и фактически являет­ся весовым коэффициентом. Для проверки адекватности используется критерий Фишера в соответствии с (1.95) и (1.96).

Принятие решений не отличается от предыдущих ал­горитмов.

1.5.4. Алгоритм ПФЭ с расчетом коэффициентов взаимодействий факторов. Введение. Ранее уже упомина­лось, что цель ПФЭ – получение адекватной линейной модели, которую предполагается использовать для опти­мизации объекта исследования. В задачах интерполяции же математическая модель должна адекватно описывать объект в области эксперимента и потому может быть не­линейной. Планы ПФЭ, с одной стороны, позволяют до­статочно просто рассчитать коэффициенты при взаимо­действиях факторов и, если они значимы, использовать полученную модель для интерполяционных целей. С другой стороны, значимость коэффициентов при взаимодействиях факторов сразу же позволяет сделать вывод о неадекватности линейной модели.

Исходные данные в отличие от 1.5.1 пополняются условием необходимости расчета коэффициентов при взаимодействиях факторов, т.е. ищется модель в виде

(1.152)

.

План эксперимента дополняется расчетными столбцами x_i x_j. Например, план ПЭФ 2³ приведен в табл. 1.9.

Таблица 1.9. План эксперимента

Номер опыта	x0	План						Выходная переменная
		реализуемый			расчетный
		x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3
1 2 3 4 5 6 7 8	+1 –1 +1 +1 +1 +1 +1 +1	+1 +1 +1 –1 +1 –1 +1 –1	+1 +1 –1 –1 +1 +1 –1 –1	+1 +1 +1 +1 –1 –1 –1 –1	+1 –1 –1 +1 +1 –1 –1 +1	+1 –1 +1 –1 –1 –1 +1 –1	+1 +1 –1 –1 –1 –1 +1 +1	y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

Расчет коэффициентов проводится по уравнению

, i=1, 2, …, n, . (1.153)

Остальные этапы не отличаются от приведенных в алгоритме 1.5.1.

Замечание 1. В задачах оптимизации необходимо, что­бы все b_ij были незначимы, а в задачах интерполяции наоборот – значимы (хотя бы некоторые). Поэтому для задач оптимизации всегда проводят расчет b_ij и ис­пользуют их для проверки адекватности модели.

Замечание 2. Существует еще одна проверка нели­нейности модели оценкой гипотезы о равенстве нулю сум­мы коэффициентов при квадратичных членах. С этой целью в центре плана ставят несколько опытов, опреде­ляют среднее и вычисляют разность , кото­рая и является оценкой суммы коэффициентов при квад­ратичных членах.

Действительно, свободный член b₀, который рассчи­тывают по уравнению:

, (1.154)

является совместной оценкой и :

, (1.155)

где β₀ – свободный член уравнения регрессии по гене­ральной совокупности экспериментальных данных; β_ii – коэффициенты при также по генеральной совокупности.

Это положение вытекает из идентичности столбцов матрицы планирования при х₀ и (они все равны + 1). Тогда разность может в какой-то мере служить оценкой кривизны поверхности отклика выход­ной переменной. Значимость этой разницы проверяют по условию:

, (1.156)

где s₀ – среднеквадратичное отклонение ошибок опыта; N – число опытов; t_T – табличное значение критерия Стьюдента для числа степеней свободы дисперсии и уровня значимости q.

Выполнение условия (1.156) свидетельствует о значи­мости квадратичных членов, и требуется их введение в интерполяционное уравнение или уменьшение интервалов варьирования факторов для получения адекватной ли­нейной модели.

Рис. 32. Геометрическое отображение плана ПФЭ 2³ в факторном пространстве