4. Планы полного факторного эксперимента 2n (планы пфэ 2n)

Алгоритм полного факторного эксперимента на двух уровнях с равным числом параллельных опытов. Исходные данные. Ставится задача определения локаль­ного оптимума на объекте исследования, для этого пред­полагается использовать математическую модель, полу­ченную с помощью полного факторного эксперимента.

Выбирают факторы и выходную переменную, задают области определения факторов и выходной переменной

;

; (1.126)

.

. . . . . . . . .

Кодирование. В области определения факторов выби­рается точка Х_i0, (нулевой уровень факторов), которая в предварительных исследованиях была призна­на наилучшей с точки зрения оптимума у. Задается ин­тервал варьирования факторов ∆Х_i. Определяются вер­хние и нижние уровни факторов:

;

(1.127)

при условии, что .

Кодируются факторы (переход к новой безразмерной системе координат x₁, x₂,…, x_n):

;

(1.128)

.

В новой системе координат факторы принимают зна­чения + 1 и – 1 .

План эксперимента. План проведения эксперимента (матрица планирования) записывается в виде табл. 1.7.

Таблица 1.7. План эксперимента

Номер опыта	x0	План				Выходная переменная
		x1	x2	…	xn	yu1	yu2	…	yum
1 2 . . . N	+1 +1 . . . +1	+1 –1 . . . –1	+1 +1 . . . –1	… … . . . …	+1 +1 . . . –1	y11 y21 … yN1	y12 y22 … yN2	… … … …	y1m y2m … yNm	1 2 … N

В приведенном плане х₀ – фиктивная переменная, равная единице; здесь также проводятся параллельные опыты – их число равно т в каждой строке матрицы планирования.

Пояснение. Предложенный план эксперимента обла­дает ортогональностью:

, , i, , (1.129)

что соответствует следствию 2 [см. (1.107)] и вытекаю­щему из него преимуществу независимого определения коэффициентов [см. (1.108) и (1.109)].

Как следствие (1.129) план эксперимента обладает симметричностью

, (1.130)

и нормировкой

. (1.131)

Ортогональные планы ПФЭ (для линейных моделей) обладают также ротатабельностью. Последнее предполагает равенство и минимальность дисперсий предсказанных значений выходной переменной для всех точек факторного пространства. По закону накопления ошибок для дисперсии предсказанных уравнением ре­грессии значений выходной переменной можно записать:

. (1.132)

Из условий (1.112) вытекает, что дисперсии коэффи­циентов регрессии равны между собой, тогда

, (1.133)

или с учетом того, что ( – радиус сферы)

. (1.134)

Отсюда ясно, что дисперсия предсказанного значения выходной переменной зависит только от радиуса сферы. Это свойство ротатабельности эквивалентно независи­мости дисперсии выходной переменной от вращения ко­ординат в центре плана и оправдано при поиске оптиму­ма градиентными методами. Интуитивно понятно, что исследователю удобно иметь дело с такой информацией, содержащейся в уравнении регрессии, которая равномер­но «размазана» по сфере радиусом . Действительно, та­кое положение можно признать разумным, ибо с помо­щью уравнения регрессии будут предприниматься по­пытки предсказать положение еще неизвестных участков факторного пространства. Равноценность этих участков в смысле ошибки предсказания, по-видимому, является необходимой.

Расчет коэффициентов уравнения регрессии. Исходя из (1.108), (1.109) и (1.131) коэффициенты рассчитыва­ются по уравнению

, i=0, 1, 2 ,…, n, (1.135)

где , (1.136)

и окончательно

, (1.137)

где N – число строк матрицы планирования (число раз­ных условий опыта); m – число параллельных опытов на каждой строке матрицы.

Построчные дисперсии по параллельным опытам на каждой строке матрицы рассчитываются по уравнению

, (1.138)

где . (1.139)

Проверка однородности дисперсий осуществляется по уравнениям (1.18) и (1.19) при условии m_i=т, p=N индекс i заменяется индексом и.

Принятие решений. Если не выполняется условие (1.19), то гипотеза об однородности дисперсий отверга­ется и одними из решений являются увеличение числа параллельных опытов, изменение метода контроля вы­ходной переменной, масштабирование выходной пере­менной.

Расчет ошибки опыта производится усреднением по­строчных дисперсий

(1.140)

для числа степеней свободы

. (1.141)

Оценка значимости коэффициентов регрессии произ­водится расчетом t-критерия по формуле (1.90), расче­том дисперсий коэффициентов по формуле (1.119) с уче­том (1.131) и оценкой по условию (1.91):

. (1.141,a)

Принятие решений. Если для какого-то коэффициен­та условие (1.91) не выполняется, то соответствующий фактор можно признать незначимым и исключить его из уравнения. Однако рекомендуется помнить, что скорее всего полученная незначимость фактора является след­ствием неудачно выбранного (малого) интервала варьи­рования. Отсюда ясно, что более правильным является решение повторить эксперимент, расширив интервал варьирования для исследуемого фактора. Конечно, при этом число опытов, а значит и длительность эксперимен­та, возрастают. Иногда половину опытов сохраняют тем, что интервал варьирования расширяют только в одну сторону, другой же (верхний или нижний) уровень оста­ется прежним.

Если фактор остался незначимым после повторения эксперимента и всех необходимых расчетов, то его (или их) отбрасывают и переходят к анализу адекватности уравнения.

Проверка адекватности уравнения регрессии осуще­ствляется по формулам (1.92), (1.94), (1.95) с учетом параллельных опытов:

. (1.141,б)

Поиск F_T производится для степеней свободы f_аД (1.93) и f₀ (1.141).

Принятие решений. При выполнении условия (1.96), т.е. при неадекватной линейной модели, наиболее часто принимают решение об уменьшении интервалов варьи­рования факторов и повторении эксперимента. Такое ре­шение хотя и уменьшает кривизну поверхности отклика, однако может привести к появлению незначимых коэф­фициентов. Очень эффективно включать в план экспери­мента новый фактор из числа отсеянных ранее. Если условие (1.96) выполняется, то адекватный линейный полином можно использовать для решения различных задач (гл. 3).

1.5.2. Алгоритм ПФЭ с параллельными опытами в одной точке факторного пространства. Исходные данные не отличаются от алгоритма ПФЭ с одинаковым числом параллельных опытов (см. 1.5.1); так же проводится и кодирование.

План эксперимента строится с учетом априорной ин­формации о хорошей воспроизводимости опытов, что не требует проверки однородности построчных дисперсий. Тогда для расчета ошибки опыта достаточно провести параллельных опытов (см. 1.5.1); так же проводится и пространства (без потери общности они могут быть по­ставленными в центре плана с координатами Х ={0,0, ...,0}, табл. 1.8).

Таблица 1.8. План эксперимента

Номер опыта	x0	План				Выходная переменная
		x1	x2	…	xn
1 2 . . . N N+1 N+2	+1 +1 . . . +1 +1 +1	+1 –1 . . . –1 0 0	+1 +1 . . . –1 0 0	… … . . . … … …	+1 +1 . . . –1 0 0	y1 y2 . . . yN y01 y02
. . .	…	…	…	…	…	. . .
N+N0	1	0	0	…	0

Расчет ошибки опыта производится по формуле

, (1.142)

где . (1.143)

За исключением этапа проверки однородности дисперсий, все остальные этапы данного алгоритма совпадают с алгоритмом 1.5.1.