5. Полный факторный эксперимент

Эффективное решение научных и прикладных задач исследований различных процессов и явлений предполагает учет, по возможности, всей совокупности факторов и их взаимных связей, оказывающих влияние на параметры оптимизации. Поэтому в настоящее время для описания сложных объектов и явлений применяют, как правило, методы многофакторного планирования эксперимента, т.е. многофакторный анализ (факторный анализ).

Полный факторный эксперимент – эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней исследуемых факторов. В результате ПФЭ получают не сечения статических характеристик объекта, как это имеет место в классическом однофакторном методе, а функциональную зависимость выходного параметра от всех воздействующих на него факторов , что очень существенно.

Факторный анализ широко применяется в настоящее время как в естественных (технических и экономических), так и в гуманитарных науках. Основные его положения были разработаны английским психологом Эдуардом Спирменом.

Факторный анализ может быть качественным и количественным. На стадии качественного анализа отбираются наиболее важные факторы, качественно связанные с изучаемым вопросом, значения которых можно определить. На стадии количественного анализа с использованием специальных математических критериев отбираются факторы, влияние которых на исследуемый процесс или явление существенно. В многофакторных моделях существенными (значительными) обычно оказываются те факторы, которые с результативным признаком имеют значимую связь, а между собой – несущественную.

Пусть интересующее нас свойство (Y) объекта зависит от нескольких (М) независимых переменных и необходимо выяснить характер этой зависимости - . Величина Y называется «отклик», а сама зависимость - «функция отклика».

Отклик должен быть определен количественно. Однако могут встречаться и качественные признаки Y. В этом случае возможно применение рангового подхода. Пример рангового подхода – оценка на экзамене, когда одним числом оценивается сложный комплекс полученных сведений о знаниях студента.

Диапазоны изменения факторов X задают область определения Y. Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то полученное пространство называется факторным пространством. Если число факторов М=2, область определения Y представляет собой прямоугольник, при М=3 – куб, при М 3 – гиперкуб. Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве называется поверхностью отклика.

Если исследуется влияние на Y лишь одного фактора , то определение функции отклика – достаточно простая задача. Задавшись несколькими значениями этого фактора, в результате опытов получают соответствующие значения Y и график .

Если факторов два, то необходимо провести опыты при разных соотношениях этих факторов. Полученную функцию отклика в трехмерном пространстве можно анализировать, проводя ряд сечений с фиксированными значениями одного из фактров. Вычлененные графики сечений можно аппроксимировать совокупностью математических выражений.

Если цель эксперимента состоит в оценке наиболее простым способом функции отклика, то в такой постановке эксперимент называют интерполяционным, т.е. основанным на интерполяции – нахождении функции по некоторым ее значениям.

Более сложным является экстремальный эксперимент, предназначенный для определения оптимума. Критерий оптимальности формулируется исследователем. В математическом смысле целью экстремальных экспериментов является поиск экстремума функции отклика.

Планирование и проведение ПФЭ обладает рядом существенных преимуществ по сравнению с традиционными методами экспериментальных работ:

• Резко сокращается число испытаний;

• Вся схема исследования оказывается значительно формализованной. Исследования распадаются на логически связанные этапы;

• План эксперимента определяет четкую стратегию (последовательность действий), позволяющую принимать обоснованные решения после каждой серии опытов;

• Процедура разработки математических моделей значительно упрощается;

• Точность математических моделей (их адекватность результатам эксперимента) повышается;

• Разработанные математические модели позволяют глубже выявить механизм явления и определить оптимальные значения сразу всех факторов ( так как они действуют на реальный процесс и изменяются одновременно), при которых значения всех функций оптимизации также оптимальны.

Этапы получения регрессионной многофакторной математической модели (РМФМ).

Определение РМФМ на базе ПФЭ включает следующие этапы:

1. Проведение предварительного эксперимента.

2. Планирование ПФЭ.

3. Создание условий для проведения ПФЭ.

4. Проведение основного эксперимента по матрицам планирования эксперимента.

5. Обработка результатов эксперимента.

6. Анализ полученной модели.

Предварительный эксперимент.

Предварительный эксперимент проводится с целью определения точности измерения выходного параметра и доверительного объема его измерений и проверки гипотезы о нормальности распределения случайных величин .

Планирование ПФЭ.

Перед началом эксперимента необходимо построить его план, т.е. определить, какие сочетания уровней факторов следует реализовать и в каком порядке осуществить планирование и рандомизацию повторных опытов.

Планирование эксперимента – очень важный этап в проведении факторного анализа, поскольку этим, по сути, ограничивается класс регрессионных моделей, среди которых отыскивается модель объекта. Следовательно, требуется задать общий вид математической модели: линейная, нелинейная с эффектами взаимодействия, квадратичная и т.п.

Регрессионная многофакторная математическая модель чаще всего представляется в виде:

• линейного полинома

Y_R=a₀+a₁X₁+…+a_iX_i+…+a_MX_M

неполного полинома второго порядка

Y_R=a₀+a₁X₁+…+a_iX_i+…+a_MX_M+a₁₂X₁X₂+…+a_ijX_iX_j+a_M-1X_M-1X_M

полинома второго порядка

Y_R=a₀+a₁X₁+…+a_iX_i+…+a_MX_M+a₁₂X₁X₂+…+a_ijX_iX_j+a_M-1X_M-1X_M+

+ a₁₁X₁²+…+ a_ijX_i²+…+ a_MMX_M²

Где Y_R — расчетное значение выходного параметра, который по­лучается в результате аппроксимации экспериментальных значе­ний по методу наименьших квадратов; X_i — значения уровней факторов; aⁱ, a_ij,a_ii – выборочные значения коэффициентов рег­рессии; i= 1, ..., М, j = 1, ..., М (i≠j) — номер фактора.

Поскольку в реальном объекте всегда существуют неуправляемые и неконтролируемые переменные, изменение величины носит случайный характер. Поэтому при обработке экспериментальных данных получаются так называемые выборочные коэффициенты регрессии , являющиеся оценками теоретических коэффициентов ,

Коэффициент называют свободным членом уравнения регрессии, коэффициенты - линейными эффектами, - эффектами парного взаимодействия, - квадратичными эффектами.

Для двухфакторного эксперимента регрессионная модель имеет вид

При факторном планировании в отличие от традиционного (однофакторного) планирования эксперимента по величине коэффициентов регрессии , в РМФМ можно судить о влиянии не только каждого фактора , но и их взаимодействия , т.е. изменения влияния одного фактора при переходе второго на другой уровень.

Поскольку в реальном объекте всегда существуют неуправ­ляемые и неконтролируемые переменные, изменение величи­ны Y носит случайный характер. Поэтому при обработке экспе­риментальных данных получаются так называемые выборочные коэффициенты регрессии являющиеся оценками теоретических коэффициентов.