Задания для работы в аудитории

1. Напишите уравнение касательной к кривой у= х² в точке А(2;4).

2. Напишите уравнение касательной к кривой у= sin х в точке х=π.

3.Найдите угловой коэффициент касательной к кривой у=5 – 3 х² в точке с абсциссой х= -2.

4. Напишите уравнение нормали к кривой у²= х в точке А(8;4).

5. Напишите уравнение нормали к кривой х ² + у²= 25 в точке А(3;-4).

6. Лифт после включения движется по закону s=1,5 t²+2t+12, где s – путь в метрах, t – время в секундах. Вычислите скорость лифта в момент времени t=2.

7. Разложение некоторого химического вещества протекает в соответствии с уравнением m=m₀e^-kt, где m – количество вещества в момент времени t, k – положительная постоянная. Найдите скорость v разложения вещества и выразите ее как функцию от m.

8. Размер популяции насекомых в момент t (время выражено в днях) задается величиной p(t) = 10000 – 9000(1+t)^-1. Вычислите скорость роста популяции в момент времени t=2.

9. Найдите с помощью дифференциала приближенные значения для следующих выражений: а) , б) sin 31 °, в) ln 1,007, г) arcsin 0,51.

10. Закон накопления сухой биомассы у винограда определяется уравнением у= 0,03 х-0,0004х², где х – число дней от распускания почек, у – накопление биомассы в кг на куст. Выясните, как изменится сухая биомасса куста при изменении х от 50 до 60 дней.

11. Опытным путем установлено, что массу животного при установившемся режиме откорма можно считать функцией времени откорма t, t≥49 дней : Р=5 , где Р – масса в кг, t – время, в днях. Найдите привес животного за 10 дней, начиная с 64 –го дня кормления.

12. Урожай сахарной свеклы (т/га) в зависимости от количества вносимых минеральных удобрений (ц/га) выражается производственной функцией у= 5,4 х -2,9, где 0,6<х≤6. Подсчитайте приближенно, как изменится урожай сахарной свеклы, если количество вносимых удобрений увеличить с 4 до 6 ц/га?

13. Зависимость между возрастом коров х (лет) и суточным удоем у (л) выражается производственной функцией у=-9,53+6,86-0,49х². Как изменится среднесуточный удой коров, если возраст их увеличился с 3 до 5 лет?

14.Найдите интервалы возрастания и убывания следующих функций: а) у=3х-х³, б) у=3х+3/х+5, в) у=sin x.

15. Исследуйте на экстремум следующие функции: а) у=2х²-8, б) у=х³-9х²+15х-3, в) у=x ln x, г) у= .

16. Найдите наименьшее и наибольшее значения следующих функций : а) у=х⁴-8х²+3 на отрезке [-2;2], б) у= на отрезке [-1/2; 1/2].

17. Найдите точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости следующих кривых: а) у=2х²-8, б) у=х³-9х²+15х-3, в) у=x ln x, г) у= .

18. Проведите полное исследование функций и постройте их графики: а) у=х³-9х²+15х-3, б) у= , в) у=х³ е^-х.

Домашнее задание № 14

1. Напишите уравнение касательной и нормали к кривой у= 5х³ -4 в точке А(0;-4).

2. Напишите уравнение касательной и нормали к кривой у= cos х в точке х=π/2.

3. Зависимость количества Q вещества, получаемого в химической реакции, от времени t определяется формулой Q= a(1+b e^-kt). Определите скорость v реакции и выразите ее как функцию Q.

4. Размер популяции бактерий в момент времени t (время выражено в часах) задается формулой p(t)=10⁶+10⁴t-10³t². Найдите скорость роста популяции, когда t=1 ч.

5. Найдите с помощью дифференциала приближенные значения для следующих выражений: а) , б) cos 62 °, в) ln 1,007, г)arctg 1,05.

6. Масса дрожжей в сахаре увеличивается за каждый час на 3 %. Если начальная масса равна 1 г, то после t часов роста масса равна m(t) =1,03 ^t. Найдите приближенное значение массы : а) после t=10 мин, б) после t=20 мин роста.

7. Найдите скорость изменения популяции бактерий, если в момент времени t (ч) она насчитывает p(t)=3000+100t² особей.

8. Найдите интервалы возрастания и убывания, а также точки экстремума следующих функций: а) у=2х-х², б) у= , в) у=(x² -1)^3/2, г) у=х+ .

9. Найдите точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости следующих кривых: а) у=х⁵, б) у= , в) у=-х³+15х²-х-250.

10. Проведите полное исследование функций и постройте их графики: а) у=х³-9х²+15х-3, б) у= , в) у= .

13