Математическое ожидание дискретного распределения
.
27.
Математи́ческое ожида́ние — мера среднего значения случайной величины в теории вероятностей, обозначается через M[X]
Математическое ожидание дискретного распределения
.
Диспе́рсия
случа́йной величины́ —
мера разброса данной случайной
величины,
то есть её отклонения от математического
ожидания.
Обозначается D[X] в
русской литературе и 
(англ. variance)
в зарубежной. В статистике часто
употребляется обозначение 
или 
.
Квадратный корень из дисперсии, равный 
,
называется среднеквадрати́чным
отклоне́нием, станда́ртным
отклоне́нием или
стандартным разбросом. Стандартное
отклонение измеряется в тех же единицах,
что и сама случайная величина, а дисперсия
измеряется в квадратах этой единицы
измерения.
Из неравенства Чебышёва следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75% случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89% — не более чем на три.
28. Кроме математического ожидания и дисперсии, для оценки случайной величины используются начальные и центральные моменты случайной величины.
Начальным
моментом порядка 
случайной
величины 
называют
математическое ожидание величины 
:
.
Центральным моментом
порядка
случайной
величины
называют
математическое ожидание величины 
:
.
Начальный
момент первого порядка 
равен
математическому ожиданию самой случайной
величины
.
Центральный момент первого порядка равен нулю:
.
Центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию случайной величины :
.
Для дискретных случайных величин:
;
.
29. Непрерывная случайная величина в отличие от дискретной случ. величины не может хар-ся вероятностью ее конкретного значения т.к.таких значений бесконечное множество.
Для хар-ки непрерывной случ. величины используеться функция распределения вер-ти, кот. Так же как и для дискретной случ. величины представляет собой вер-ть события, что случ. величина Х принимает значение меньшее определенного х, т.е. F(x)=P(X<x), однако в отличие от дискретной случ. величины Х проходит все непрерывное множество значений, а сама функция F(x) возрастает монотонно. Рассмотрим график функции распределения непр. случ. величины.
В некоторых случаях назначение случ.величины могут быть наложены ограничения , например: время отведенное на выполнение некоторой операции. В этом случае функция распределения будет располагаться лишь в правой полуплоскости. Если случ.величина
Xє[x1;x2], то P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1).
Функцией распределения называют функцию f(X), определяющую вероятность того, что случайная величина х в результате испытания примет значение, меньшее х. Свойства функции распределения
1) значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1].
2) F(x) – неубывающая функция.
при
3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале.
4) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице.
5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.
Таким образом, не имеет смысла говорить о каком – либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой – либо интервал, что соответствует большинству практических задач.