Министерство образования и науки

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Южный федеральный университет"

Отчет

по лабораторной работе №3

по курсу:

«Экономико-математическое моделирование»

На тему:

«Производственная функция Кобба-Дугласа»

Вариант 14

Выполнила: Петрова Елена

студентка 4 курса

группы И-89

Проверил: Харчистов Б.Ф.

Таганрог

2012

Содержание:

1. Постановка задачи оптимизации………………………………………….3

2. Модель задачи оптимизации…………………………………………...….5

3. Задание……………………………………………………………………...6

4. Расчетная часть……………………………………………………………..6

5. Выводы и рекомендации………….……………………………………….9

1. Постановка задачи оптимизации

Задача оптимизации производственного процесса решает, как распределить имеющиеся денежные средства на покупку ресурсов – какие ресурсы, в каком количестве и по какой цене приобретать, чтобы получить максимальное количество готовой продукции. Функция, описывающая такую оптимизацию, называется производственной функцией Кобба-Дугласа. Она может быть представлена в виде:

,

где F – количество произведенной продукции;

А – коэффициент технического развития предприятия;

К – количество используемого в производстве капитала, то есть основные средства предприятия;

L – количество используемого в производстве труда, то есть количество рабочей силы;

b – доля капитала в доходе, которая определяет, какая часть дохода остается владельцам, а какая идет на оплату труда, .

При моделировании используются следующие макроэкономические понятия и определения:

1)Предельный продукт капитала(МРК)– это дополнительный объем выпущенной продукции, поученной от использования дополнительной единицы капитала.

Увеличение прибыли от использования дополнительной величины капитала:

Изменение прибыли = Изменение выручки – Изменение издержек =

, где Р – цена единицы готовой продукции (руб.).

R – стоимость единицы капитала, то есть затраты на приобретение ОС (руб.).

Чтобы максимизировать прибыль, фирма будет продолжать приобретать дополнительное оборудование до тех пор, пока изменение прибыли не сведется к нулю:

=> (1.1)

Таким образом, МРК – это спрос фирмы на капитал в единицах товара или реальная цена капитала. Его можно определить как производную производственной функции по K:

(1.2)

2)Предельный продукт труда (МРL) – это дополнительный объем выпущенной продукции, полученной от использования дополнительной единицы труда.

Чтобы максимизировать прибыль, фирма будет продолжать приобретать дополнительные единицы труда до тех пор, пока изменение прибыли не сведется к нулю:

-=> , (1.3)

где: W – стоимость единицы труда, то есть затраты на выплату зарплаты (руб.).

Таким образом, МРL – это спрос фирмы на труд в единицах товара или реальная цена труда. Его можно определить как производную производственной функции по L:

(1.4)

3)Предельная доходность капитала(MRPК) показывает, на сколько увеличится выручка от реализации продукции при увеличении использования капитала:

4)Предельная доходность труда(MRPL) показывает, на сколько увеличится выручка от реализации продукции при увеличении использования труда:

Из уравнений (1.2) и (1.3) выразим Р и приравняем эти два соотношения:

Выразим из этого соотношения R ( ) и подставим соотношения (1.2), (1.4) вместо МРК И МРL. Получим: . (1.5)

Подставив в (1.1), (1.2) соответственно в (1.3), (1.5), можно вывести систему ограничений, которые будут использоваться в модели.

(1.6)

(1.7)

Чтобы предприятие работало безубыточно, нужно чтобы его выручка от продаж превышала затраты на производство, то есть: =>

Z – денежная сумма, предназначенная для финансирования предприятия.

Подставив сюда вместо F формулу Кобба-Дугласа, получим:

или (1.8)

Так же нужно учесть, что реальные затраты не должны превышать денежной суммы, предназначенной для финансирования предприятия. То есть:

Подставив формулу (1.5) в это выражение, получим:

Преобразуем эту формулу, сократив в ее левой части первое слагаемое на К и в полученной формулы вынесем за скобки LW

Приведем левую часть выражения к общему знаменателю и перенесем полученное выражение в правую часть. Получим:

(1.9)

Так как , то можно ввести ограничение или (1.10)

Неравенства вида (1.6) – (1.10) являются ограничениями данной задачи оптимизации.

Так же из смысловой постановки задачи ясно, что А, К, L, Р, W, R, b > 0.