В.Г. Рау, о.Р. Никитин, т.Ф. Рау, л.А. Ломтев расчет вариантов фотонных решеток на упаковочных пространствах

Как известно, фотонным кристаллом называется материал, структура которого характеризуется периодическим изменением показателя преломления в пространственных направлениях. Это приводит к образованию фотонной запрещённой зоны. Решение уравнений Максвелла для распространения света в диэлектрической решётке показывает, что из-за Брэгговской дифракции распределение фотонов по частотам ω(k) в зависимости от волнового вектора k (2π/λ) будет иметь области разрыва. Непрерывная плотность состояний (как свободного электрона, так и фотона в вакууме) претерпевает разрыв внутри, соответственно, кристаллической и фотонной решёток в так называемых «стоп-зонах» при значении волнового вектора k (т.е. импульса), который соответствует стоячей волне. Это является условием Брэгговской дифракции и электрона, и фотона. Как показывает расчет, уравнения электродинамики для фотонных кристаллов не чувствительны к масштабированию (в отличие от уравнения Шрёдингера в случае электронных кристаллов), поэтому длины волн света в фотонных кристаллах могут варьироваться от ультрафиолета до микроволнового излучения исключительно за счёт изменения размерности компонентов фотонной решётки.

Из истории развития кристаллографии известно, что публикация работ Е.С.Федорова о 230 пространственных группах симметрии опередила появление рентгеновских дифракционных методов определения структур и повлияла на их быстрое развитие. Этот факт стимулировал наши исследования по априорному созданию моделей всех возможных фотонных решеток в дискретном упаковочном пространстве [1]. В статье будут приведены результаты расчетов периодических 2D - гетерослоев и островных структур.

В 1995 году нами [1], был предложен способ анализа симметрии упаковочных пространств с применением групп подстановок. Напомним основные понятия и определения:

1. n-мерное упаковочное пространство N-го порядка - это n-мерная решетка, каждому узлу которой приписан вес (из множества N чисел) таким образом, что узлы с одинаковыми весами образуют подрешетку, совпадающую с точностью до параллельного переноса с заданной в этой решетке подрешеткой трансляций. Области Дирихле системы узловых точек решетки образуют n-мерные элементарные кубы (или элементарные квадраты в двумерном пространстве), совокупность которых с независимыми весами (цветом) определяет объем фундаментальной области подрешетки, а число N является ее индексом.

2. Группа подстановок (ГП) – это совокупность всех π(i) подстановок некоторого множества, удовлетворяющая групповым аксиомам.

3. Области транзитивности упаковочного пространства (УП) – это в общем случае несвязные, одноцветные области, объединяющие эквивалентные клетки (кубы) в фундаментальной области УП, возникающие в силу существования симметрии УП. Совокупность областей транзитивности определяет разбиение пространства на замкнутые (островные) и открытые (слоистые) структуры.

В качестве примера использования некристаллографической симметрии перестановок выберем группу кватернионов. Если в качестве базиса комплексного пространства выбрать векторы:

0 = (1, i), 1 = (– 1, –i), 2 = (i, 1),  3 = (–i, – 1),

4 = (1, – i), 5 = (–1, i), 6 = (–i, 1), 7 = (i, –1),

то, как известно из математики, им будет соответствовать операционное множество, образующее двухмерное представление:

Выражая элементы множества представления через подстановки, будем иметь восемь операций:

g(0) = 1 = e = (0 1 2 3 4 5 6 7) = = (0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7),

g(1) = i = ( 2 3 1 0 7 6 4 5) = (0213)(4756),

g(2) = j = ( 4 5 6 7 1 0 3 2) = (0415)(2637),

g(3) = k = (6 7 5 4 2 3 1 0) = (0617)(2534),

g(4)=-1=(10325476) = =(01)(23)(45)(67),

g(5) = - i = (3 2 0 1 6 7 5 4) = (0312)(4657),

g(6) = - j = (5 4 7 6 0 1 2 3) = (0514)(2736)

g(7) = - k = (7 6 4 5 3 2 0 1) = (0716)(2435),

для которых простым произведением матриц подстановок можно построить следующую групповую таблицу Кэли:

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 1 2 3 4 5 6 7

1 1 4 3 6 5 0 7 2

2 2 7 4 1 6 3 0 5

3 3 2 5 4 7 6 1 0

4 4 5 6 7 0 1 2 3

5 5 0 7 2 1 4 3 6

6 6 3 0 5 2 7 4 1

7 7 6 1 0 3 2 5 4 .

Символы в строчках и столбцах таблицы для каждого из преобразований группы заменены на соответствующий этому преобразованию номер операции подстановки.

Будем рассматривать каждую строку таблицы Кэли как новую операцию подстановки. Легко проверить, что полученное новое операционное множество будет порождать изоморфную группе кватернионов группу, таблица умножения элементов которой будет обладать свойствами исходной таблицы Кэли:

g[0]=(0 1 2 3 4 5 6 7 ); g[0] g[1] g[2] g[3] g[4] g[5] g[6] g[7]

g[1]=(2 7 4 1 6 3 0 5 ); g[1] g[2] g[3] g[0] g[5] g[6] g[7] g[4]

g[2]=(4 5 6 7 0 1 2 3 ); g[2] g[3] g[0] g[1] g[6] g[7] g[4] g[5]

g[3]=(6 3 0 5 2 7 4 1 ); g[3] g[0] g[1] g[2] g[7] g[4] g[5] g[6]

g[4]=(7 6 1 0 3 2 5 4 ); g[4] g[7] g[6] g[5] g[2] g[1] g[0] g[3]

g[5]=(1 4 3 6 5 0 7 2 ); g[5] g[4] g[7] g[6] g[3] g[2] g[1] g[0]

g[6]=(3 2 5 4 7 6 1 0 ); g[6] g[5] g[4] g[7] g[0] g[3] g[2] g[1]

g[7]=(5 0 7 2 1 4 3 6 ); g[7] g[6] g[5] g[4] g[1] g[0] g[3] g[2]

Применим такой же подход к полученной таблице Кэли еще раз. При этом, несмотря на изменившиеся операции подстановок, вид таблицы Кэли остался прежним. Поэтому все операционные множества, полученные из группы кватернионов, являются изоморфными и любое из них можно применять для получения соответствующих структур в упаковочном пространстве.

g[0] = (0 1 2 3 4 5 6 7 ); g[0] g[1] g[2] g[3] g[4] g[5] g[6] g[7] (0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)

g[1] = (1 2 3 0 5 6 7 4 ); g[1] g[2] g[3] g[0] g[5] g[6] g[7] g[4] (0123)(4567)

g[2] = (2 3 0 1 6 7 4 5 ); g[2] g[3] g[0] g[1] g[6] g[7] g[4] g[5] (02)(13)(46)(57)

g[3] = (3 0 1 2 7 4 5 6 ); g[3] g[0] g[1] g[2] g[7] g[4] g[5] g[6] (0321) (4765)

g[4] = (6 5 4 7 0 3 2 1 ); g[4] g[7] g[6] g[5] g[2] g[1] g[0] g[3] (0426)(1735)

g[5] = (5 4 7 6 3 2 1 0 ); g[5] g[4] g[7] g[6] g[3] g[2] g[1] g[0] (0527)(1436)

g[6] = (4 7 6 5 2 1 0 3 ); g[6] g[5] g[4] g[7] g[0] g[3] g[2] g[1] (0624)(1537)

g[7] = (7 6 5 4 1 0 3 2 ); g[7] g[6] g[5] g[4] g[1] g[0] g[3] g[2] (0725)(1634).

Очевидно, что при визуализации группы кватерниона порядок соответствующего упаковочного пространства следует выбирать кратным порядку подгруппы подстановок, т. е. N = 8k. При этом каждый цикл в какой-либо операции подгруппы подстановок выделяет в УП идентичные точки (элементарные квадраты, кубы), которым можно приписать определенный цвет, и тогда все пространство будет разбито на такое количество одноцветных, но различающихся между собой, в общем случае несвязных, цветных областей, на сколько циклов разбита соответствующая операция подстановки. Внутри каждой области операция «закрашивания» приводит к тому, что появляется локальная симметрия, обладающая свойством транзитивности, поэтому такую область УП можно назвать областью транзитивности цветного упаковочного пространства.

Составлена программа перехода от произвольных групп подстановок к любому из упаковочных пространств с последующим выбором цвета закрашивания областей, в соответствии с циклами в каждой операции подстановки.

На рис. 1 представлены некоторые варианты двумерных фотонных решеток, построенных с помощью группы кватернионов.

Рис. 1. Примеры модельных двумерных фотонных решеток

Переход между структурами, определяемыми одинаковой операцией группы подстановок, но принадлежащими различным упаковочным пространствам, происходит дискретно, за счет изменения подрешеток. Можно считать, что решетка деформируется при таком переходе и матрицы упаковочного пространства выполняют роль дискретного деформационного преобразования (ДДП). Количество этих преобразований конечно и определяется формулой:

Полное множество дискретных деформационных преобразований можно продемонстрировать на разбиении с N = 31, когда при изменении матриц упаковочных пространств от УП31 1₆ к УП31 1₂₅ (6 + 25 = 31) происходит постепенная деформация структуры исходного разбиения от «левой» формы областей разбиения к «правой» форме, характеризуя резкий фазовый переход (рис. 2). Таким образом, с помощью математических групп подстановок в упаковочном пространстве с соответствующим индексом N удается визуализировать возможные гетерослои, характерные для структур на наноуровне, и фотонные решетки.

.

Рис. 2. Дискретные деформационные преобразования в упаковочных пространствах с N = 31

Литература

1. Рау В.Г., Рау Т.Ф. // Кристаллография. 1995. Т. 40. № 1. С. 170.