3. Уровень оптимального цикла.

Теорема. Для дифференцируемой плотности выгоды с конечным числом критических точек и положительных функций ограничения совпадающих лишь в отдельных точках, цикл, доставляющий максимальную среднюю временную выгоду, определен однозначно, если эта плотность неотрицательна. Кроме того, уровень оптимального цикла, выгода и средняя временная выго- да вдоль него связаны уравнением

Доказательство этой теоремы опущено.

4. Доказательство теоремы 1.

Схема для классификации особенностей таже, что и в работах [2], [3]:

• явление, порождающее особенность, локализуется,

• оптимальное движение изменяется так, что это явление не учитывается, а в результате период изменённого цикла и выгода вдоль него становятся гладкими функциями уровня и параметра вблизи изучаемой точки,

• делается учет проведенного изменения, что доставляет особенность уровня оптимального цикла, выгоды и средней временной выгоды вдоль него как функции параметра,

• особенность средней временной выгоды приводится к нормальной форме.

При появлении в случае общего положения регулярной двойной точки у используемой плотности на конце цикла, по лемме Адамара вблизи этой точки (=нулю) плотность усилия принимает вид:

где - гладкие функции, а больше либо меньше нуля, если ис- пользуемая плотность максимальная, либо минимальная соответственно, - функция Хевисайда.

Если вблизи нуля изменим оптимальные циклы, прилагая лишь часть используемой плотности, то в результате получим гладкие период наилучшего цикла уровня, выгоду и среднюю временную выгоду вдоль него, а из уравнения (4) найдем уровень этого цикла - гладкую вблизи нуля функцию. По лемме Адамара имеем

где и - гладкие функции. Разрешая ис- пользование вблизи нуля всей плотности а не только ее части локально справа от нуля при мы получим изменение функции на величину

где - некоторая гладкая функция, здесь и ниже многоточие стоит для обозначения членов более высокой степени малости вблизи нуля. Это приведет к последующим изменениям точек переключения, а, значит, периода и выгоды вдоль цикла уровня:

где Подставляя форму- лы и из (6) и (7), а результат в уравнение (4) найдем из последнего урав- нения, что при уровень оптимального цикла имеет вид

с некоторой гладкой функцией Подставляя этот уровень в (6) и (7) и вычисляя среднюю временную выгоду, получим при максимальную среднюю временную выгоду

с некоторой гладкой функцией После выбора разности как новой координаты вдоль средней временной оси выгоды получим, что максимальная средняя временная выгода равна нулю при и гладкой функции с некоторой гладкой функцией После подхо- дящего растяжения параметра, функция приводится к виду Следовательно, получаем особенности средней временной выгоды как у функции в нуле с точностью до -эквивалентности.

В случае общего положения при появлении точки переключения на конце цикла максимальная и минимальная плотности различны в этой точке, и линия переключения не касается обеих линий и Аналогичные вычисления приводят к функции вида с и, следовательно, особенности средней временной выгоды будут как у функции в нуле с точностью до -эквивалентности.

Библографический список

1. В.И. Арнольд. Оптимизация в среднем и фазовые переходы в управляемых дина- мических системах// Функц. анализ и его приложения. 36 (2002), 1-11.

2. А.А. Давыдов. Особенности типичного дохода в модели Арнольда циклических процессов// Тр. МИАН, 250 (2005), 79–94

3. А.А. Давыдов, Е.Мена Матош. Типич- ные фазовые переходы и особенности выгоды в модели Арнольда//Матем. сб., 198:1 (2007), 21–42

4. А.А. Давыдов, Т.С. Шуткина - Оптимизация циклического процесса с дисконтированием по его средней временной выгоде //УМН, 64:1(385), (2009), 143–144.

Давыдов А.А., Шуткина Т.С. Единствен­ность цикла с дисконтированием, оптималь­ного по средней временной вы­годе// Труды Института математики и меха­ники 17:2. – 2011. – С.80-87