Т.С. Шуткина концевые особенности усредненной однопараметрической выгоды циклических процессов с дисконтированием

Для гладкого однопараметрического семейства управляемых циклических процессов с дисконтированием найдены типичные концевые особенности максимальной средней временной выгоды как функции параметра и доказана устойчивость к малому шевелению семейства.

Циклический процесс моделируется управляемой системой на окружности, кото- рая задаeтся полем скоростей гладко за- висящим от точки окружности и управ- ляющего параметра Предполагается, что пробегает гладкое компактное многооб- разие (или объединение таковых) и прини- мает не менее двух различных значений, а все допустимые скорости положительные.

Допустимыми движениями системы называются абсолютно непрерывные отображения отрезка временной оси в фазовое пространство, в точках дифференцируемости которого его производная лежит в выпуклой оболочке множества допустимых скоростей этой точки. Цикл с периодом - это периодическое допус- тимое движение При наличии непрерывной плотности выгоды и дисконтирования выгоды с показателем возникает задача выбора цикла с максимальной средней временной выгодой за один оборот, сводящаяся к поиску максимума функционала

где - параметр се- мейства, по всем измеримым плотностям удовлетворяющим ограничениям

Здесь и - положительные функции, -обратные значения максимума и минимума допустимой скорости, соответственно, а и это начальная и конечная точки цикла.

2. Классификация особенностей

В параметрическом случае особенности максимальной и минимальной скоростей являются одним из источников особенностей у максимальной средней временной выгоды как функции параметра. В случае общего положения при одномерном параметре максимальная плотность усилия вблизи каждой точки либо гладка либо имеет как функция от одну из трех особенностей

в нуле с точностью до -эквивалентности - гладкой замены координат в области определения и прибавления гладкой функ- ции; для минимальной плотности нужно из- менить знак у этих функций [2], [3]. Точку с особенностями 1) - 3) будем называть двой- ной, тройной и точкой сборки, соответст- венно. При в случае общего поло- жения замыкание множества точек, где или максимальная, или минимальная плотности имеют такие особенности (= множество Максвелла) либо пусто, либо есть

-- гладкая кривая при а при гладкая кривая с тройными точками, одина- ковыми для максимальной и минимальной скоростей, причем множество Максвелла вблизи каждой из них есть состоит из трех гладких некасающихся кривых, либо

-- гладкая кривая с тройными точками при и дополнительно с точками сборки при , различными для минимальной и максимальной скоростей, а также с трансверсальными самопересе- чениями вне этих точек.

Кроме того, множества Максвелла типичного семейства систем и любого достаточно близкого к нему переводятся одно в другое гладким диффеоморфизмом близким к тождественному (см., например, [2]). Следовательно, для семейства систем общего положения это множество размещено типично по отношению к слоям естественного расслоения над пространством параметра.

При одномерном параметре множест- во Максвелла типичного гладкого семейства управляемых систем может касаться слоев расслоения только в точках своей глад- кости и с первым порядком касания. Каждый слой этого расслоения может содержать только одну точку такого касания, либо трой- ную точку, либо точку сборки, либо точку самопересечения этого множества. Точку такого касания будем называть двойной с касанием, а остальные точки гладкости мно- жества Максвелла - регулярными.

Точкой переключения цикла уровня называется любая точка, в которой движение по нему меняет минимальную скорость на максимальную или наоборот.

Если в случае без дисконтирования, регулярная двойная точка и переключение на конце цикла не влияют на особенности, то при появлении дискаунта, они приводят к особенностям средневременной выгоды.

Теорема 1. Если на окружности для типичного однопараметрического семейст- ва пар плотностей выгоды и управляемых систем с при значении параметра на конце цикла появляется либо регулярная двойная точка, либо переключение используемой плотности выгоды, то росток наибольшей средней временной выгоды -эквивалентен ростку в нуле функции либо либо соответственно.