5. Графическое интегрирование

При проектировании кулачковых механизмов закон движения толкателя обычно задается в виде функцио­нальной зависимости аналога ускорения толкателя от угла поворота кулачка: - для механизмов с поступательно движущимся толкателем или - для механизмов с вращающимся толкателем, так как для обеспечения режима технологического процесса к закону из­менения скорости или ускорения толкателя часто предъявляются определенные требования.

При ω₁ = const имеют место такие соотношения:

(1)

(2)

если толкатель перемещается прямолинейно (рис. 3, а); если же толкатель колеблется вокруг неподвижной оси (рис. 3, б), то

(3)

(4)

Для построения профиля кулачка достаточно иметь зависимости S = S (t) или ψ = ψ (t). Поэтому в указанных случаях приходится дважды интегрировать заданные зависимости.

На рис. 4 представлена кривая у" = у" (x), выражающая, в зависимости от типа кулачкового механизма, либо либо

Рис. 4

Площади F₁ и F₂, а также F’₂ и F’₁ должны быть равны между собой, поскольку скорость толкателя в начале и конце углов удаления и воз­вращения равна нулю. Проинтегрируем дважды графически заданную зависимость. Для этого:

1) построим ординаты ab, cd, ..., соответствующие серединам ин­тервалов 01, 12, ..., и отложим отрезки Ob'= ab, Od' = cd на оси ординат;

2) соединим произвольно взятую точку Р₁ на продолжении оси х с точками b', d', ...;

3) на рис. 4, б из точки О₁ проводим отрезок О₁b" в интервале О₁1 параллельно лучу Р₁b', отрезок b"d" в интервале 1—2 параллельно лучу P₁d' и т.д.

Полученная ломаная линия (в пределе — кривая) в графической форме представляет собой первый интеграл заданной зависимости, т. е. кривую у' — у' (х) и, значит, с учетом масштабов, либо либо

Аналогично, интегрируя кривую у' = у' (х), получаем вторую интегральную кривую у = у (х), с учетом масштабов S=S(φ) (рис. 4, в), либо ψ = ψ(φ).

Для определения произвольных постоянных интегрирования при­ходится задаваться некоторыми начальными условиями. В дальней­шем будем полагать, что в нижнем положении толкателя его скорость (линейная либо угловая) должна равняться нулю. Естественно также начало отсчета времени t относить к этому моменту. Таким образом, получаем следующие начальные условия для кулачковых механизмов:

а) с поступательно движущимся толкателем

t₀ = 0; V₀= 0; S₀ = 0;

б) с вращающимся толкателем

t₀ = 0; ω_T=0; ψ₀ = ψ_min.

6. Рекомендуемые масштабы величин

Пусть по оси x (рис. 4) отложен отрезок длиной L мм, представля­ющий собой угол поворота кулачка, равный 2π (или 360⁰). В этом слу­чае масштаб углов поворота

либо

При принятом нами законе движения φ = ω₁ t из последних ра­венств можно определить масштаб времени, если на оси x откладывать не углы поворота φ кулачка, а соответствующие им значения времени.

Тогда

отсюда

Т. о., масштабы времени и углов поворота кулачка определяются выбранной величиной отрезка L (это и понятно), представляющего собой один оборот кулачка (либо один период его вращения). Так как обычно при исследовании движения период делится на l равных частей, где l для удобства вычерчивания принимается кратным 12, то, очевидно, и отрезок, равный L мм, вы­годно брать также кратным 12. Поэтому в зависимости от величины вычерчиваемой диаграммы можно рекомендовать значения L = 120, 180, 240, 300, 360 мм.

Пример. L = 360 мм.

Тогда или

При этом масштаб времени μ_t будет: где n – число оборотов в минуту кулачка.

Из приведенных формул видно, что масштабы μ_φ и μ_t обратно пропорциональны длине L. Поэтому, уменьшая в предыдущем примере значение L в 2, 3, 4,…, k раз, тем самым увеличиваем соответствующим образом значения масштабов μ_φ и μ_t . Напри­мер, при L = 180 мм будем иметь

или .