2. Задание

Даны два точечных заряда q₁ и q₂ на расстоянии 2L в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε = const.

Рисунок 1. Схема расположения зарядов в декартовой системе координат.

Введём декартову систему координат (рис.1) с центром, совпадающим с центром отрезка 2L. Ось X в плоскости y=0 направим от заряда q₁ к заряду q₂., ось Z – вертикально вверх, ось Y – нормально к плоскости XOZ.

Необходимо выполнить:

1. Рассчитать распределение потенциала электрического поля U в точке М, расположенной на расстоянии Z от оси ОX.

2. Рассчитать составляющие напряженности электрического поля E_x, Е_γ и E_z на профиле X при заданном значении Z.

3. Составить таблицы с рассчитанными данными и построить графики U(x), E_x(x), E_y(x), E_z(x).

4. Выполнить анализ полученных графиков и сделать выводы.

1. Исходные данные:

1. – постоянный коэффициент, учитывающий знаки и величину зарядов;

k = 1. Это означает, что дано: два положительных заряда, одинаковых по знаку и величине.

2. Z – расстояние от точки М до оси ОХ в метрах;

3. 2L – расстояние между зарядами q₁ и q₂ в метрах.

2. Вывод расчётных формул

Источником электрического поля являются точечные заряды. Через поле осуществляется взаимодействие источников друг с другом. За характеристику поля принимают силу, с которой оно действует в данной точке на положительный единичный заряд. Эту характеристику называют напряженностью (Е) поля в данной точке и определяют по формуле:

,

где:

F – сила, с которой поле действует на заряд,

q – заряд.

В соответствии с законом Кулона [4,5] о взаимодействии точечных зарядов в однородной среде:

Находим потенциал U электрического поля, создаваемого точечным зарядом q по формуле (10):

,

где:

r – расстояние от заряда до точки, в которой определяется потенциал,

- диэлектрическая проницаемость.

Если среда однородная, то для системы точечных зарядов справедлив принцип суперпозиции: потенциал системы точечных зарядов равен сумме потенциалов каждого заряда и определяется выражением (11)

.

Потенциал для случая двух зарядов i=1,2:

.

И для того, чтобы учитывать только отношение зарядов, путем арифметических операций получим следующее выражение:

,

где - вспомогательный относительный потенциал.

Заменив отношение постоянным коэффициентом k, получаем:

.

Расстояние между зарядами по теореме Пифагора можно представить в виде:

,

,

где и расстояние от зарядов и соответственно до точки М (см. рис.1). Таким образом, итоговая формула для вспомогательного относительного потенциала электрического поля представлена в виде:

. (1)

Для расчета напряженности электрического поля Е необходимо учесть выражение:

.

Но, так как помимо выполнения конечных расчетов, необходимо построить графики, то напряженность, так же как и потенциал, будем считать относительной. Таким образом, относительная напряженность электрического поля :[1,2,3]

.

Вертикальная составляющая напряженности электрического поля равна:

₍₂₎

Так как электрическое поле симметрично относительно плоскости, при у=0, и, следовательно, составляющая напряженности электрического поля по оси Y равна:

Горизонтальная составляющая напряженности электрического поля равна:

₍₃₎

Расчеты горизонтальной и вертикальной составляющих напряженности электрического поля, а также потенциала выполняются с помощью программы MS Excel и заносятся в таблицу. После получения расчетных данных с помощью Excel можно приступить к построению графиков распределения , и .

Для каждого расстояния 2L (5 значений) строятся графики зависимости потенциала электрического поля (5 графиков), горизонтальной (5 графиков) и вертикальной (5 графиков) составляющих напряженности электрического поля от расстояний Х между зарядами.

Так как мы взяли при расчетах относительные потенциалы и составляющие напряженности, то их значения на графиках и в таблицах указываются в условных единицах (у.е.). Расстояние Х задается приблизительно от –20 м до + 20 м для построения графиков в удобном масштабе.