3. Определение расчётных статистических характеристик (мер положения, рассеивания, и форм кривой распределения)
а) определение мер положения
Среднее арифметическое значение является первым начальным моментом и вычисляется по формуле:
Xср — среднее арифметическое значение выборки (мг/л);
Хi — элементы выборки (мг/л).
Если учитывать, что ряд натурных наблюдений вариационный и
сгруппированный, то среднее арифметическое значение можно рассчитать по
следующей зависимости:
(мг/л)
где ni — частота каждого интервала;
Хi*— среднее арифметическое значение каждого интервала (мг/л).
Среднее арифметическое значение каждого интервала рассчитывается, как полусумма границ интервалов.
Xср=19,057
Мода (значение, имеющее максимальную частоту, т.е. наиболее часто встречаемое значение случайной величины в выборке) определяется по формуле:
где X0 - начало модального интервала (мг/л);
ni — частота модального интервала;
n(i - 1) и n(i + 1) — соответственно частоты предыдущего и последующего за
модальным интервалов.
Модальным называется интервал с наибольшей частотой.
М0=19,45+1,54(9-6)/(9-6)+(9-4)=20,03(мг/л)
Медиана – срединный элемент выборки – определяется по формуле:
(мг/л)
где X0- начало медианного интервала;
Т(i - 1) — сумма частот интервалов предшествовавших медианному;
ni — частота медианного интервала.
Медианный интервал определяется по серединному элементу
вариационного ряда. Если в вариационном ряду четное количество значений,
то нет серединного элемента. Необходимо определить два центральных
элемента, найти среднее арифметическое, как полу сумма их. Полученное
значение подставляется в границы интервалов.
Ме=19,45+1,54(30/2-6)/9=20,99(мг/л)
б) меры рассеивания
Характеристикой рассеивания или отклонения случайной величины от центра распределения выступает дисперсия – второй центральный момент.
Дисперсия вычисляется по формуле:
(мг/л)2
М2=7,33(мг/л)2
Для определения стандартного отклонения из дисперсии извлекается
квадратный корень, полученная величина называется средним квадратичным
отклонением и обозначается δ= √M2 (мг/л).
σ=2,71
(мг/л)
Нормированное отклонение определяется коэффициентом вариации:
Cv=0,12
в) характеристики формы кривой распределения
Характеристиками формы кривых распределения выступают третий и четвёртый центральные моменты. Третий центральный момент характеризует асимметричность ряда, т.е. неравномерность распределения случайной величины относительно центра и определяется по формул
(мг/л)3
M3=9,48(мг/л)3
Безразмерный коэффициент асимметрии (Cs) определяется отношением третьего центрального момента к кубу среднего квадратичного отклонения:
Cs=M3/ σ3 Cs=0,48
Четвёртый центральный момент характеризует форму симметричной кривой распределения и называется эксцесс (островершинность).
(мг/л)4
М4=98,63(мг/л)4
Показателем островершинности выступает коэффициент эксцесса (Се), который определяется по формуле: Се=(М4/ σ4) - 3
Се=-1,17
Так как ряд вариационный и сгруппированный, то для расчётов центральных моментов можно использовать следующие формулы:
L=2,3,4
Определение центральных выборочных моментов
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
6 |
-3,23 |
10,43 |
-33,69 |
108,82 |
62,58 |
-202,14 |
652,92 |
2 |
9 |
-1,69 |
2,86 |
-4,83 |
8,16 |
25,74 |
-43,47 |
73,44 |
3 |
4 |
-0,15 |
0,00225 |
-0,003 |
0,0045 |
0,09 |
-0,012 |
0,0018 |
4 |
3 |
1,39 |
1,93 |
2,69 |
5,18 |
5,79 |
8,07 |
15,54 |
5 |
3 |
2,93 |
8,58 |
25,15 |
73,7 |
25,74 |
75,45 |
221,1 |
6 |
5 |
4,47 |
19,98 |
89,31 |
399,2 |
99,9 |
446,55 |
1996 |
|
30 |
|
|
|
|
219,84 |
284,44 |
2959,0018 |
