7.2 Упругогеометрические характеристики сечения

При определении напряжений в неравномерно нагретых деталях используются так называемые упругогеометрические характеристики сечений, которые учитывают непостоянство модуля упругости по сечению. Эти характеристики далее будем называть термоупругими жесткостями.

Будут использоваться следующие характеристики:

— термоупругая жесткость нулевого порядка (при растяжении):

, (7.6)

где x и y — координаты в сечении F, dF – элементарная площадка;

— термоупругие жесткости первого порядка относительно осей X и Y (статические жесткости):

, (7.7)

; (7.8)

— термоупругие жесткости второго порядка относительно осей X и Y (жесткости при изгибе):

, (7.9)

; (7.10)

— двухосевая термоупругая жесткость второго порядка:

. (7.11)

Из приведенных выше определений видно, что порядок термоупругой жесткости равен сумме степеней при координатах в подынтегральных выражениях.

Если ось X удовлетворяет условию , то она является центральной осью термоупругой жесткости. В плоском сечении существует бесчисленное множество центральных осей. Все они пересекаются в одной точке - центре термоупругой жесткости сечения.

Из определений (7.9), (7.10) следует, что термоупругая жесткость второго порядка относительно любой оси всегда положительна. Оси X и Y, удовлетворяющие условию , называют главными осями термоупругой жесткости. В плоском сечении всегда существуют только две главные оси (исключение составляют симметричные сечения, у которых может быть бесконечное множество главных осей). Обе они перпендикулярны друг другу, являются одновременно центральными осями и, следовательно, проходят через центр термоупругой жесткости.

При постоянном модуле упругости из выражений (7.6) – (7.11) следует:

Рисунок 7.2 - Смещение

центра жесткости при локальном нагреве участка ΔF

;

; ; (7.12)

; ; ,

где - площадь сечения; и — статические моменты сечения относительно осей X и Y; и — осевые моменты инерции относительно осей X и Y;

Рисунок 7.3 - Смещение и поворот главных осей термоупругой жесткости при локальном нагреве

— центробежный момент инерции относительно системы координат X и Y.

Величины F, S_x, S_y, J_x, J_y, J_xy являются геометрическими характеристиками сечения, так как определяются только конфигурацией сечения. В отличие от них упругогеометрические характеристики зависят еще и от распределения модуля упругости по сечению.

Неравномерное распределение температур в сечении приводит к смещению центра термоупругой жесткости относительно центра тяжести сечения, а также к смещению и повороту главных осей термоупругой жесткости относительно главных осей инерции.

Центр термоупругой жесткости удаляется от области уменьшения модуля упругости (нагрева). Это проиллюстрировано движением точки а на рис. 7.2. В случае увеличения модуля, наоборот, приближается к участку нагрева.

Поворот главных осей жесткости при локальном уменьшении модуля упругости происходит таким образом, что ось максимальной жесткости приближается к участку сечения, в котором произошло изменение (ось Х₂ на рис.7.3). При увеличении модуля упругости ось максимальной жесткости удаляется от участка изменения.