3.2. Диверсификация. Управление портфелем инвестиций

Диверсификация – рассредоточение инвестиций, т.е. инвестор не должен вкладывать деньги только в один вид деятельности, в одну компанию. Портфель инвестиций – это набор видов ценных бумаг (векселей, акций компаний, контрактов).

В рыночной экономике инвестирование связано с риском. Риск – это неуверенность достижения поставленной цели. Основные показатели инвестиционного риска: недополученная до желаемой прибыль и дисперсия прибыли DП. При этом средняя недополученная прибыль выражается через дисперсию по формуле:

= 0,4 ∙

Рассмотрим два варианта инвестиций. Предположим, что ожидаемая прибыль от первого варианта составляет , а дисперсия DП₁ (показатель риска). Для второго варианта соответственно и DП₂. Тогда ожидается прибыль и дисперсия портфеля из двух инвестиций выражаются как

где: х₁, х₂ – доля инвестиций в 1-й и 2-й проект соответственно; х₁ + х₂ = 1;

r - коэффициент корреляции между П₁ и П₂.

Задача управления портфелем из двух инвестиций формулируется следующим образом.

Найти {х₁*, х₂*}, обеспечивающие минимальный риск.

DП = DП₁ × x₁² + DП₂ × x₂² + 2×r × × х₁ × х₂ ® min при условии:

х ₁ + х₂ = 1

х₁ ³ 0, х ³ 0

Для решения этой задачи введем обозначения:

х₁ º х; DП º у

Подставляя в DП вместо Х₁ = Х и Х₂ = 1 - Х, получим функцию от одного переменного

DП = Y = DП₁ × Х² + DП₂ × (1 – Х)² + 2r × × Х × (1 – Х)

Далее решается задача нахождения минимума функции от одного переменного на участке 0 £ Х £ 1. Если Х* - точка минимума, то Х₁* = Х*, Х₂* = 1 – Х*. При этом минимальный риск DП* = Y(X*), а прибыль портфеля инвестиций будет равна П* = . Задача имеет решение Х*0 при выполнении условия:  ρ. При невыполнении этого условия вместо значения экстремума берётся наименьшее значение Х* = 0, т.е.

Х₁* = 0 и Х₂* = 1.

Задача оптимизации портфеля из “n” некоррелированных инвестиций формулируется следующим образом.

Найти {Х₁, Х₂,… Х_n}, обеспечивающие минимум риска (дисперсии прибыли): DП = ∙ Х_i²) → min,

При выполнении ограничений: = 1; все X_i ≥ 0.

Решение этой задачи может быть получено с помощью метода множителей Лагранжа и имеет вид: X_i* = .

Отсюда следует, что в варианты инвестиций с большим риском (больше DП_i) целесообразно вкладывать меньше средств (меньше X_i).

Задание 7. Сформировать оптимальный портфель инвестиций и найти соответствующие значения ожидаемой прибыли и минимального риска при следующих исходных данных.

Варианты	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	20	18	16	14	12	40	38	36	34	32
DП1	16	9	4	1	1	9	16	14	4	1
	18	16	14	12	10	38	36	34	32	30
DП2	14	7	2	0,5	0,5	4	9	10	2	0,5
r	-1	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2	0,2	0,4	0,6	0,5	0,3