3. Снижение риска

3.1. Резервирование.

Рассмотрим систему, состоящую из “n” основных и “R” резервных элементов. Надёжность элемента характеризуется коэффициентом готовности k_Г = Р_Г – вероятность исправности элемента. Пусть k – число работоспособных элементов – случайная величина (СВ), закон распределения которой имеет вид:

Х = k	0	1	2	…	n
Pn+R(k)	P0	P1	P2		Pn

P_n+R(k<n) = ∙ Р_Г^k ∙ (1 – Р_Г)^n+R–k – вероятность исправности “k<n” элементов, k Î [0 ¸ n – 1] элементов.

P_n+R(k ≥ n) = 1 – – вероятность исправности “k≥n” элементов, k Î [n ¸ n + R]”.

Пусть каждый работоспособный элемент даёт доход “d”. Тогда доход от Х = k работоспособных элементов равен: D_n+R(k) = d ∙ k – СВ. Пусть цель системы – получение дохода: D₀ = D_n+R(n) = d ∙ n. Тогда вероятность того, что цель не будет достигнута, равна:

P_n+R(k < n) = 1 – P_n+R(n) = .

Средняя величина (математическое ожидание) недополученного до D₀ дохода равна: = d ∙ – показатель риска.

Можно показать, что при увеличении “R”, то – уменьшается, т.е. резервирование снижает риск.

Задача. Рассчитать оптимальное число резервных элементов “R = R*” для получения максимальной прибыли.

Пусть содержание одного элемента системы за единицу времени (месяц) равно “C” [руб/(шт∙мес)]. Тогда максимальный финансовый результат работы системы из “n” элементов за месяц равен:

θ(k) = D_n+R(k) – С ∙ (n + R) = d ∙ k – С ∙ (n + R).

Функцию распределения P_n+R(k) можно представить таблицей:

k	0	1	2	…	k	…	n
θ(k)	–С∙(n+R)	d–С∙(n+R)	2∙d–С∙(n+R)		k∙d–С∙(n+R)		n∙d–С∙(n+R)
Pn+R(k)	P0	P1	P2		Pk		Pn

Наивероятнейшее число исправных элементов “k= k*” определится:

(n + R) ∙ Р_Г ≤ k* ≤ (n + R + 1) ∙ Р_Г.

При k* = n, то “R = R*” определится из неравенства:

(n + R*) ∙ Р_Г ≤ n ≤ (n + R* + 1) ∙ Р_Г.

Откуда значения “R*” принадлежат интервалу: – n – 1 ≤ R* ≤ – n.

Тогда наибольший финансовый результат от работы системы из “n” элементов определится: θ(n) = d ∙ n – С ∙ (n + R*).

Задание 6. Определить оптимальное число резервных элементов “R” для получения максимальной прибыли Q=Qmax, величину и вероятность достижения этой прибыли, если доход (от работы одного элемента за рабочий период Т) = d, стоимость (содержания одного элемента за рабочий период Т) = С, коэффициент (вероятность) готовности одного элемента = Р_Г. Значения входных параметров согласно вариантов заданы в таблице. Размерности входных параметров следующие: [d] = [C] = [руб/(шт∙мес], [n] = [R] = [шт], [Q] = [руб/мес].

№вар	d	С	РГ	n	№вар	d	С	РГ	n
0	10000	3000	0,9	10	16	6000	2000	0,9	10
1			0,8		17			0,8
2			0,7		18			0,7
3			0,6		19			0,6
4	9000	2800	0,9	15	20	5000	1800	0,9	15
5			0,8		21			0,8
6			0,7		22			0,7
7			0,6		23			0,6
8	8000	2600	0,9	20	24	4000	1600	0,9	20
9			0,8		25			0,8
10			0,7		26			0,7
11			0,6		27			0,6
12	7000	2400	0,9	25	28	3000	1400	0,9	25
13			0,8		29			0,8
14			0,7		30			0,7
15			0,6		31			0,6

Пример решения (вар 0).

R = R* определится из неравенства: – n – 1 ≤ R* ≤ – n.

– 10 – 1 ≤ R* ≤ – 10 Þ 0,1 ≤ R* ≤ 1,1 Þ R* = 1.

P₁₁(k ≥ 10) = ∙ 0,9¹⁰ ∙ 0,1¹ + ∙ 0,9¹¹ ∙ 0,1⁰ = 0,697357 » 0,7 = 70 %.

θ(n) = d ∙ n – С ∙ (n + R*) = 10000 ∙ 10 – 3000 ∙ 11.