1. Достаточные статистики и их использование в статистических играх

Пусть - случайный вектор с распределением . Функция от называется достаточной статистикой для , если условное распределение при известном значении не зависит от .

Говорят, что решающее правило основывается на статистике , если есть функция только от , то есть , когда .

Если в статистической игре есть наблюдаемый статистиком случайный вектор, принимающий значения в выборочном пространстве , а есть достаточная статистика для , то множество решающих правил, основанных на , образует существенно полный класс.

Выявление достаточных статистик обеспечивается возможностью их факторизационного представления. Функция является достаточной статистикой для тогда и только тогда, когда плотность или функция вероятностей случайного вектора представима в виде

(1)

где зависит от только через функцию , а не зависит от .

При наблюдении повторной выборки удобно, если распределения случайных величин , таковы, что достаточная статистика имеет фиксированную размерность , не зависящую от объёма выборки . Таким свойством обладают распределения, принадлежащие экспонентному семейству, то есть семейству распределений с плотностью или функцией вероятностей вида

(2)

При этом, в силу факторизационного представления

(3)

Пример. Найдём достаточную статистику для повторной выборки из последовательности испытаний Бернулли с неизвестной вероятностью успеха , то есть . Здесь

,

Очевидно, что в факторизационном представлении (1)

и достаточная статистика для имеет вид . Легко убедиться также, что распределение Бернулли принадлежит экспонентному семейству (2) с . Следовательно, в силу (3) при любом объёме выборки достаточная статистика будет скалярной, . Найденная достаточная статистика будет иметь биномиальное распределение с , .

Упражнения

1. Пользуясь факторизационным представлением, найдите достаточную статистику для параметра в распределении на выборочном пространстве , если есть повторная выборка объёма :

а. из распределения Пуассона с функцией вероятностей

;

б. из биномиального распределения , с известным параметром и с функцией вероятностей

;

в. из нормального распределения с неизвестным средним и известной дисперсией ;

г. из нормального распределения с неизвестной дисперсией и известным средним ;

д. из нормального распределения с неизвестным векторным параметром ;

е. из равномерного распределения на интервале , с плотностью при и 0 – в остальных случаях.

Рассмотрите следующие варианты:

- известное значение , неизвестное ;

- известное значение , неизвестное ;

- неизвестный векторный параметр

Каково будет распределение соответствующих достаточных статистик?

2. Покажите, что следующие семейства распределений являются экспо­нентными распределениями:

а. семейство распределений Пуассона ;

б. семейство биномиальных распределений с известным параметром и с ;

в. семейство нормальных распределений с неизвестным векторным параметром .

В каждом случае произведите явный выбор функций и ; найдите вид достаточной статистики для повторной выборки объёма .