2. Структура статистической игры

2.1. Основные определения

Итак, статистической игрой (с фиксированным объемом выборки) называют антагонистическую игру , в которой чистыми стратегиями игрока I (Природы) являются функции распределения , случайного вектора выборки X из пространства выборок , а игрок II (Статистик) наблюдает значения выборки и, используя в качестве чистых стратегий решающие правила (решающие функции) , принимает решение . Средняя потеря статистика при выборе им решающего правила и состоянии природы определяется функцией риска ,

.

Здесь - функция потерь статистика в исходной антагонистической игре .

2.2. Смешанные расширения статистической игры

В смешанных расширениях статистической игры статистик может использовать два эквивалентных по риску способа рандомизации:

а) рандомизированные решающие правила , представляющие собой распределения вероятностей на множестве нерандомизированных решающих правил , со средним риском

.

б) решающие правила поведения , представляющие собой условные (по наблюдаемому значению выборки ) смешанные стратегии статистика в исходной антагонистической игре, то есть условные распределения вероятностей на множестве решений A, со средним риском

.

Очевидно, , и, с учётом эквивалентности способов рандомизации, можно использовать общее обозначение решающих правил .

Упражнение

Опишите множества нерандомизированных решающих правил , рандомизированных решающих правил и решающих правил поведения в статистической игре с множеством решений и множеством выборок .

Смешанные стратегии природы , представляющие собой распределения вероятностей на множестве состояний природы , называются априорными распределениями. Байесовский риск решающего правила относительно априорного распределения определяется как

.

3. Оптимальные решающие правила

3.1. Принципы выбора оптимальных стратегий в статистической игре

Естественное упорядочение решающих правил по величине риска: решающее правило не хуже правила , если ; решающее правило лучше правила , если , и ; решающее правило эквивалентно правилу , если .

Класс решающих правил называют полным, если для любого правила, не принадлежащего этому классу, существует лучшее правило в .

Класс решающих правил называют существенно полным, если для любого , существует , которое не хуже, чем .

Основным теоретико-игровым принципом выбора оптимального решающего правила на основе упорядочения стратегий статистика по величине риска при неизвестной стратегии природы , является выбор правила, минимизирующего максимальный риск.

Решающее правило называется минимаксным, если

.

Оптимальная максиминная стратегия природы, называемая наименее благоприятным априорным распределением, , имеет место, если

.

Полезным приёмом при отыскании оптимальных стратегий статистика в статистической игре с природой является упорядочение решающих правил по величине байесовского риска относительно некоторого априорного распределения .

Решающее правило называется байесовским относительно , если

.

Выражение в правой части называют минимальным байесовским риском.

Заметим, что если соответствующие внешние экстремумы не достигаются, то могут рассматриваться подходящие минимизирующие (максимизирующие) последовательности или -оптимальные стратегии.

Если распределения дискретны или абсолютно непрерывны при любых , а пространства и A компактны в смысле естественной метрики, задаваемой функцией потерь , то статистическая игра имеет значение (цену) :

и существуют оптимальные (или -оптимальные) стратегии обоих игроков.

Упражнения

1. Используя известные из общего курса теории игр методы решения матричных игр и (см. например [2]), решите задачу, поставленную в иллюстративном примере п.1.3:

а) Найдите оптимальные стратегии первого и второго игроков в исходной антагонистической игре и значение этой игры .

б) Найдите минимаксное решающее правило , наименее благоприятное априорное распределение и значение игры v в статистической игре ; поясните содержательный смысл различия между и v.

в) Используя решение упражнения п.2.2, постройте минимаксное ре­шающее правило поведения , эквивалентное по риску найденному в (б) минимаксному рандомизированному решающему правилу .

г) Пусть по многолетним наблюдениям известно, что в летние дни погода бывает хорошей в 75% случаев; найдите байесовское решающее правило относительно соответствующего априорного распре­деления . Опишите множество априорных распределений в рассматриваемой задаче, постройте график минимального байесовского риска , и интерпретируйте результат, полученный в (б).

2. Пусть в условиях задачи, решённой в упр. 1, наблюдение случайной величины X (получение прогноза погоды) стоит 0,2 ед. Затратив 0,4 ед., можно получить прогноз с вероятностью правильного предсказания, равной 0,9 как для плохой, так и для хорошей погоды. Какой из видов прогноза следует предпочесть?