1.3. Статистические игры

В этом пособии мы рассмотрим теорию математических моделей принятия решений в условиях неопределённости и риска – класс так называемых статистических игр.

Как уже отмечалось, в теоретико-игровых математических моделях неопределённость обычно связана с тем, что лицо, принимающее решение, не знает выборов, сделанных другими активными сторонами, то есть не знает истинной ситуации в известном множестве ситуаций (так называемая стратегическая неопределённость). А риск в статистической игре связан с наличием случайных факторов, влияющих на последствия принимаемых решений.

В обычной постановке статистическая игра - это антагонистическая игра (игра 2-х лиц с нулевой суммой) в которой игрок II (Статистик) принимает решение после проведения статистического эксперимента, дающего ему некоторую вероятностную информацию о выборе, сделанном игроком I (Природой).

Заметим, что в статистической игре I-м игроком может быть и разумный участник конфликта, и тогда игра будет действительно антагонистической. А если речь идёт о Природе, то следует конечно учитывать, что природа, вообще говоря, не является антагонистическим противником и не стремится к выигрышу. Как говорил Альберт Эйнштейн "Господь Бог изощрён, но не злонамеренен!". Однако, лицо, принимающее решение, - Статистик, не зная истинного выбора природы, может проявить осторожность и рассматривать эту задачу как антагонистическую игру.

В случае игры с природой иногда можно рассчитывать на выяснение устойчивого случайного механизма действий природы и, зная априори смешанную стратегию природы, выбирать своё решение на основе оптимизации результата по среднему значению (байесовский подход).

Иллюстративный пример. Выделение дополнительных автобусов на пригородных маршрутах в летние выходные дни.

Пусть потенциально-возможная дополнительная прибыль автотранспортного предприятия за счёт притока пассажиров, желающих выехать за город в выходные дни, соответствует 1 условной единице в плохую погоду и 10 ед. при хорошей погоде, а резерв пропускной способности обычных рейсовых автобусов равен 4 ед. Если заблаговременно не выделить дополнительные автобусы, то предприятие понесёт убытки, связанные с недополученной прибылью (и с возможными жалобами на плохое обслуживание). В то же время издержки эксплуатации дополнительных автобусов составят 4 ед. Вводя множество состояний природы , где - плохая погода в выходные дни, - хорошая погода, и множество решений статистика (руководства автотранспортного предприятия), принимаемых в конце предвыходного дня, , где - решение сохранить обычный график движения автобусов, - решение выделить дополнительные автобусы, мы получаем исходную антагонистическую игру с функцией (матрицей) потерь, представленной следующей таблицей:

Θ
	-1	3
	2	-6

:

Нетрудно убедиться, что эта игра имеет оптимальные смешанные стратегии:

и значение игры, то есть минимаксная средняя потеря II-го игрока, .

Однако, решение может приниматься II-м игроком (статистиком) на основании некоторого статистического эксперимента, например с учётом прогноза погоды на предстоящие выходные дни.

Введём множество возможных исходов статистического эксперимента – множество выборок , где - обещание плохой погоды, - обещание хорошей погоды. Величина случайна и её распределение зависит от состояния природы . Пусть, например, плохая погода правильно предсказывается в 70% случаев, а хорошая – в 80% случаев. Тогда можно представить соответствующую условную функцию вероятностей в виде таблицы:

Θ
	0,7	0,3
	0,2	0,8

:

Теперь статистик может расширить множество своих стратегий, выбирая действия с учётом результатов статистического эксперимента . Для этого он задаётся одной из возможных функций - решающих правил. В нашей задаче множество решающих правил состоит из четырёх элементов D :

Каждая из функций, , указывает одно из возможных правил принятия решения о дополнительных автобусах по данным прогноза погоды. Но теперь функция потерь - случайная величина. Заменяя её функцией риска :

,

получаем новую антагонистическую игру - статистическую игру с матрицей потерь:

Θ
	-1	0,2	1,8	3
	2	-4,4	0,4	-6

Оптимальная смешанная стратегия руководства автотранспортного предприятия (статистика) теперь имеет вид

,

а значение этой игры .