4. Применение монотонных решающих правил

Статистическая игра с конечным множеством решений , в которой есть подмножество вещественной прямой, называется монотонной статистической игрой, если для некоторого упорядочивания существуют такие числа

,

что функция потерь удовлетворяет соотношениям:

,

.

Эти неравенства означают, что если , то наиболее предпочтительным является решение . Таким свойством обладают, например, многие прикладные задачи проверки статистических гипотез.

Для монотонной статистической игры с выборочным пространством на вещественной прямой решающее правило называется монотонным, если существуют такие числа (при допустимых значениях ), что при и в остальных случаях, . Таким образом, монотонное решающее правило является нерандомизированным и решение принимается лишь тогда, когда .

Говорят, что семейство распределений действительной случайной величины с действительным имеет монотонное отношение правдоподобия, если для , отношение является монотонно неубывающей функцией от , то есть, если для любых и .

Теорема. Если в монотонной статистической игре семейство распределений наблюдаемой случайной величины имеет монотонное отношение правдоподобия, то монотонные решающие правила образуют существенно полный класс.

Следствие. В условиях Теоремы байесовское решающее правило относительно любого априорного распределения на может быть описано монотонным решающим правилом.

Пример. Пусть , , функция потерь имеет вид (при заданном ):

И наблюдается выборка объёма из нормального распределения со средним и единичной дисперсией. Решим эту статистическую игру.

Достаточной статистикой для является среднее арифметическое значение выборки , причём . Игра является монотонной с и ввиду монотонности отношения правдоподобия для нормальных распределений случайной величины (проверьте это!) любое оптимальное решающее правило можно построить, задавая критическую точку , такую, что при и при . Вычислим риск этого решающего правила:

Нетрудно убедиться, что для риск достигает наибольшего значения при или :

.

Далее, достигается при

.

Подставляя плотность нормального распределения , получаем минимаксное решающее правило и значение статистической игры , где - интеграл вероятностей. Наименее благоприятное априорное распределение отдаёт всю свою вероятностную массу двум точкам и с .

Заметим, что тот же результат проще получить, используя принцип инвариантности. Наша статистическая игра инвариантна относительно конечной группы преобразований , . Поэтому минимаксное решающее правило будет инвариантным монотонным правилом с .

Упражнения

1. Покажите, что любое однопараметрическое экспонентное семейство распределений действительной случайной величины с плотностью , где и - неубывающие функции, имеет монотонное отношение правдоподобия.

2. (Фергюсон [6]). Пусть , , а функция потерь имеет вид (c ):

Θ
	0	1	L
	1	0	1
	L	1	0

:

Наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение со средним и единичной дисперсией.

а. Покажите, что в этой статистической игре монотонные решающие правила составляют существенно полный класс; определите вид байесовских правил.

б. Покажите, что игра инвариантна относительно конечной группы преобразований (какой?); определите вид инвариантных монотонных правил и функцию риска.

в. Найдите минимаксные решающие правила и значения игры при и . Найдите соответствующие наименее благоприятные априорные распределения.

3. Решите задачу упр. 2, когда наблюдаемая случайная величина имеет логистическое распределение с плотностью

.

Найдите минимаксные решающие правила и значение игры при и .

4. Пусть , , а функция потерь имеет вид:

Θ
	0	1	1	1
	1	0	1	1
	L	1	0	1
	1	1	1	0

:

Наблюдается случайная величина . Найдите минимаксное решающее правило, учитывая монотонность статистической игры и используя принцип инвариантности.

Ответ: при , при , при , при , где значение определяется из уравнения

5. (Закс [5]). Пусть , , функция потерь имеет вид:

и наблюдается случайная величина . Используя монотонность, найдите минимаксное решающее правило и значение игры. Воспользуйтесь принципом инвариантности.