4. 3. 2. Дифракционные потери и фазовый

сдвиг. Собственные значения могут быть представлены в виде

. (55)

Величина определяет затухание и фазовый

сдвиг излучения, характеризующегося распределением , при распространении от одного зеркала до другого; действительная часть , равная , определяет дифракционные потери в резонаторе, равные , а мнимая - суммарный фазовый сдвиг. Здесь -геометрический фазовый сдвиг, который приобретает волна, проходя оптическую длину ,- сдвиг фаз, дополнительный к геометрическому, физический смысл которого подробно рассмотрен в [2].

Физический смысл фазовой поправки кратко

сводится к следующему. Световые пучки, формируемые резонатором, соответствующие собственным функциям , могут быть представлены как результат интерференции четырех плоских волн, распространяющихся под определенными углами друг к другу и к оси (рис. 13).

Рис. 13. Разложение поперечных мод на плоские волны

Направления распространения пучков характеризуются углами наклона где 2a, 2b - размеры плоского зеркала вдоль осей и , соответственно, причем все четыре угла между этими направлениями и осью одинаковы и составляют

. (56)

В результате эквифазная поверхность суммарного

светового пучка перемещается с фазовой скоростью, превышающей скорость света тем больше, чем больше наклон интерферирующих плоских волн, т.е. чем выше значения индексов колебания . Поясним это с помощью рис. 14, где для простоты изобразим две из четырех составляющих единый пучок плоские волны.

Из рисунка ясно, что при перемещении каждой из

плоских волн на расстояние эквифазная поверхность переместится на большее расстояние, равное , т. е. скорость ее перемещения будет в раз больше скорости света. Так как именно фазовой скоростью определяется расстояние между узлами стоячей волны, образующейся за счет интерференции двух одинаковых встречных пучков, возникает фазовая поправка , на которую общий набег фазы уменьшается из-за превышения фазовой скоростью величины с, тем большая, чем выше значения индексови. Это необходимо учитывать при определении частот собственных колебаний резонатора.

Рис. 14. К определению фазовой скорости пучка,

представляющего собой суперпозицию плоских волн

Чтобы распределение комплексной амплитуды

воспроизводилось не только по форме, но и имело прежнюю фазу, величина должна быть действительной. Отсюда следует, что суммарный набег фазы ( должен быть кратен . Таким образом, фазовое условие , являющееся условием резонанса -го колебания с распределением , позволяет рассчитать частоты собственных колебаний симметричного оптического резонатора, соответствующие каждому распределению поля в резонаторе (сравните с выражением (24) для плоских волн):

. (57)

Таким образом, видно, что собственные решения и

соответствующие собственные значения уравнения (46) определяют величины, представляющие непосредственный интерес, а именно, распределение поля на зеркалах, резонансные частоты и дифракционные потери. Зная распределение поля на зеркалах, можно с помощью выражения (39) вычислить поле на любом расстоянии от них внутри (стоячая волна) и вне (бегущая волна) резонатора.

Следует отметить, что в случае лазерной ситуации,

когда между зеркалами резонатора находится активное вещество, возможно существование только тех колебаний, длина волны которых приходится на полосу усиления активной среды. В большинстве случаев ширина полосы усиления настолько узка, что , и в выражении для фазовой поправки можно не учитывать зависимость ее от, считая длину волны фиксированной и равной длине волны в центре полосы усиления. Отсюда следует, что распределение поля лазерного излучения в поперечном направлении однозначно связано с поперечными индексами а от индекса не зависит. Очевидно, что искомое электромагнитное поле с учетом временной зависимости может быть найдено как , действительная величина напряженности поля равна, а переход к распределению интенсивности может быть осуществлен как (для монохроматического источника).

Итак, из рассмотрения предыдущего материала

следует, что при распространении колебаний в оптическом резонаторе после некоторого числа прохождений распределение поля на зеркалах (и в объеме резонатора) становится стационарным. Существует несколько отличных друг от друга видов этого распределения, описываемых собственными функциями и представляющих собой различные нормальные типы колебаний резонатора, которые могут существовать независимо друг от друга (свойство ортогональности). Каждому нормальному типу колебаний соответствуют свои потери и фазовый сдвиг за полный проход резонатора, определяемые соответствующим собственным значением . Это означает, в частности, что каждый тип колебаний будет характеризоваться частотами, отличающимися в общем случае от частот колебаний других типов (с другими индексами и ). Однако в некоторых случаях частоты различных типов колебаний могут совпадать (случай вырождения частот). Таким образом, нормальные типы колебаний оптического резонатора характеризуются определенным распределением амплитуд и фаз как в объеме резонатора, так и по поверхности зеркал и определенным набором частот, причем каждой частоте соответствует определенное число полуволн, укладывающихся на длине резонатора.

Сокращенно нормальные типы колебаний резонатора

называют модами.

Они характеризуются определенной конфигурацией

поля на поверхностях зеркал и определенным числом полуволн, укладывающихся на длине резонатора. Конфигурация поля (распределение интенсивности и фазы колебаний в пространстве) определяют пространственные свойства излучения лазеров.

Каждой моде соответствует своё, вполне определенное

и отличное от других мод распределение поля, которое зависит от конфигурации и вида симметрии сечения резонатора - центральной или двухосевой.

В дальнейшем будем рассматривать резонаторы,

использующие только плоские и сферические зеркала (что наиболее широко встречается на практике). Поскольку вид мод в сильной степени определяется конфигурацией резонатора, задаваемой радиусами кривизны зеркал и расстоянием между ними, все резонаторы принято делить на две большие группы - так называемые устойчивые и неустойчивые, вид мод для которых и дифракционные потери существенно различны. Поэтому, прежде чем рассматривать конкретный вид мод, познакомимся с указанными группами резонаторов и их особенностями.