5. 3. Полная система балансных уравнений в частных производных
Учитывая,
что
,
запишем
полную
систему балансных уравнений для трехуровневого лазера:
(95)
.
Напомним,
что
,
гдеB
- коэффициент
Эйнштейна для вынужденных переходов в канале генерации.
В случае четырехуровневого лазера последнее
уравнение в системе (95) должно быть заменено уравнением
.
(96)
Укажем
граничные условия для функции
и
.
Как
следует из рис. 24, они таковы:
.
(97)
5. 4. Усредненные балансные уравнения
При использовании балансных уравнений часто
используют еще одно упрощение. Оно связано с выполнением усреднения плотности инверсной населенности и плотности светового потока по длине активной среды (точнее, по длине резонатора).
Складывая первые два уравнения системы (95) и
обозначая
и
,
получим:
.
(98)
Интегрируя это уравнение по длине активной среды,
получаем:
.
(99)
Используя
скобки 
для обозначения усреднённых функций
,
перепишем (99) в виде:
;
(100)
(при
выполнении усреднения полагалось, что
свойства активной среды однородны, так
что ни 
,
ни
не
зависят от координаты 
).
Можно показать, что при рассмотрении реальных
ситуации справедливо приближенное соотношение:
.
С учетом этого уравнение (100) принимает вид:
.
(101)
Разность
есть выходящая из
резонатора
плотность светового потока (
),
т. к.
.
(102)
Используя коэффициент полезных потерь, можно
представить
в виде
,
(103)
где
.
Сопоставляя (102) и (103), заключаем, что
.
Тогда уравнение (101) записывается в виде:
.
(104)
Таким образом, усреднение по длине активной среды
позволяет существенно упростить систему балансных уравнений. Вместо системы трех уравнений в частных производных получаем систему двух усредненных уравнений:
;
(105)
.
Обозначая
,
перепишем
систему усредненных
уравнений
для трехуровневого лазера (скобки
опустим):
.
(106)
Для четырехуровневого лазера второе уравнение в
системе следует заменить уравнением
(107)
5. 5. Общие замечания о методе балансных уравнений
Рассмотренные балансные уравнения иногда называют
точечными уравнениями, поскольку эти уравнения, по сути дела, описывают точечную модель лазера, пренебрегая пространственными переменными, т. е такую модель, в которой все пространство, занятое активной средой, как бы сведено в одну точку. Изменения в пространстве здесь не принимаются во внимание, учитываются лишь изменения во времени.
Указанное обстоятельство заметно ограничивает
возможности данного метода. Так, например, балансные уравнения не годятся для рассмотрения пространственно неоднородных активных сред; они не позволяют учесть пространственную неоднородность инверсной населенности и ряд других пространственных эффектов.
Надо особо отметить, что в методе балансных уравнений
не рассматривается ни амплитуда, ни фаза поля, а лишь его интенсивность. Это означает, что не учитываются фазовые соотношения в генерируемом излучении и связанные с ними интерференционные явления. Поэтому балансные уравнения недостаточны для расчета спектральных или угловых характеристик излучения, а также для анализа нелинейно-оптических явлений.
Тем не менее этот метод оказывается весьма полезным
при рассмотрении динамики лазеров. Он позволяет достаточно корректно рассмотреть ряд вопросов, связанных с изменением во времени параметров одномодового лазера и его излучения. В частности, метод балансных уравнений позволяет выявить основные черты динамики процессов в режиме свободной генерации и в режиме модуляции добротности.
Балансные уравнения используются также при
рассмотрении
многомодовых лазеров [4], [5]. Достаточно
строгий анализ
условий применимости балансных уравнений
содержится
в [4], [6]. Эти условия для одномодового
лазера включают, в частности, требования
малости времени поперечной релаксации
по
сравнению как со временем продольной
релаксации
,
так и со временем жизни фотонав
резонаторе
:
<<
;
<<
.
В твердотельных лазерах эти неравенства почти всегда
выполняются.