4. 3. Моды оптического резонатора. Модовый состав излучения

При рассмотрении свойств оптического резонатора до

сих пор предполагалось существование в нем плоских волн. Однако такое предположение несовместимо с принципами электромагнитного излучения ввиду ограниченности апертуры резонатора и невозможности существования плоских волн конечного размера. Поэтому плоскую волну нельзя считать нормальным типом колебаний резонатора конечных размеров, и нельзя рассчитывать дифракционные потери, исходя из наличия плоских волн.

Для определения электромагнитного поля резонатора,

очевидно, могут быть использованы уравнения Максвелла. Строгой теории, основанной на использовании уравнений Максвелла, посвящен ряд работ, наиболее полные из которых принадлежат Л. А. Вайнштейну, изложившему общую теорию резонатора с зеркалами произвольной формы. Однако указанная теория и расчет характеристик резонаторов сталкиваются в ряде случаев с серьезными математическими трудностями, большими объемами вычислений.

В связи с этим разрабатывались и менее строгие, но

более простые методы расчета полей в резонаторах. Если учесть, что все характерные размеры резонаторов - расстояние между зеркалами, их апертурные размеры и радиусы кривизны - значительно превышают длину волны излучения, а поле очень близко к поперечному электромагнитному полю и однородно поляризовано в одном направлении (что подтверждается практикой), то для описания свойств такого оптического резонатора можно воспользоваться принципом Гюйгенса - Френеля и скалярной теорией дифракции Кирхгофа. При этом поле волны записывают в виде скалярной величины U, описывающей, скажем, амплитуду электрического (или магнитного) поля.

Изучение поля в резонаторе на основе принципа

Гюйгенса - Френеля впервые было проведено Фоксом и Ли.

4. 3.1. Интегральное уравнение оптического

резонатора. Собственные функции и собственные значения. Важнейшим соотношением скалярной теории дифракции, представляющим собой интеграл Кирхгофа - Гюйгенса - Френеля (дифракционный интеграл), является следующее:

, (37)

где - комплексная амплитуда поля в плоскости отверстия в точке ; - точка наблюдения; - расстояние от точки отверстия до точки наблюдения ; - единичный вектор, направленный от точки отверстия к точке наблюдения ; - орт нормали к плоскости отверстия; - орт нормали к волновому фронту в плоскости отверстия, - волновое число.

Смысл величин, входящих в выражение (37),

поясняется рис. 11, который изображен для случая плоского отверстия (которым мы в дальнейшем и ограничимся), совпадающего с плоскостью (). Соотношение (37) позволяет, в частности, рассчитывать по заданному распределению поля на первой плоскости () поле () на второй (рис. 11), что и требуется при расчете полей открытых резонаторов.

Если при этом учесть, что характерные размеры

резонатора значительно превышают длину волны излучения и излучение в резонаторах распространяется в пределах небольших углов вдоль оси , в выражении (37) можно сделать ряд упрощений: во-первых, членом в круглых скобках можно пренебречь по сравнению с k уже на расстоянии нескольких длин волн от плоскости, в которой задано поле; во-вторых, можно пренебречь изменением произведения в пределах исходной плоскости (отверстия) и заменить его постоянной величиной , где - единичный вектор, направленный из начала координат к точке наблюдения. Если учесть, что в теории оптических резонаторов, как правило, приходится иметь дело с так называемыми параксиальными пучками, углы наклона которых к оси резонатора невелики, так как , можно в большинстве случаев принять ; в - третьих, так как можно предположить, что распределение фаз в плоскости зеркала мало отличается от равномерного (иначе бы излучение сильно расходилось), отклонение лучей от направления, нормального к плоскости отверстия, будет мало, и поэтому член может считаться постоянным и равным единице на всей поверхности зеркала. Одна из моделей для расчета поля в резонаторе приведена на рис. 12.

Рис. 11. К пояснению величин, входящих в дифракционный интеграл

Рис. 12. К расчету поля оптического резонатора. 1,2- зеркала резонатора

С учетом вышесказанного выражение (37) для случая,

изображенного на рис. 12, приобретает вид:

. (38)

Физический смысл этого приближенного выражения:

каждая точка зеркала () рассматривается как источник сферической волны. Сила источника определяется амплитудой волны в этой точке. Поле в точке () образуется в результате суперпозиции всех сферических волн, достигших этой точки.

Дальнейшее упрощение выражения (38) связано с тем,

что можно пренебречь при интегрировании изменением величины r, которая может быть принята равной (где - расстояние от начала координат исходной плоскости до точки наблюдения ) или даже заменена на - расстояние между плоскостями (центрами) зеркал резонатора, ввиду малости угла . Отличие от учтем только в фазовом множителе. Тогда выражение (38) можно записать так:

. (39)

Величина , входящая в это выражение, обычно

представляется в виде ряда, в котором пренебрегают остаточным членом ε, если произведение .

Например, для случая плоских зеркал разложение в

ряд Тейлора приводит к следующему выражению:

,

где - остаточный член ряда. Поскольку представляет собой сходящийся знакопеременный ряд, величина которого не превышает первого члена, можно в показателе экспоненты выражения (39) не учитывать, если произведение первого члена остаточного ряда на значительно меньше . В общем случае используемое приближение величины имеет вид:

, (40)

где - координаты произвольной точки на первом и втором зеркалах резонатора соответственно; - фокусные расстояния зеркал резонатора; ;

- стрелки прогиба поверхностей зеркал резонатора.

При рассмотрении некоторых частных случаев

выражение (40) упрощается:

1) плоский резонатор ():

; (41)

2) конфокальный резонатор (симметричный) ():

; (42)

3) концентрический резонатор :

; (43)

4) несимметричный конфокальный резонатор :

, (44)

5) полусферический резонатор ():

. (45)

Таким образом, выражение (39) является исходным для

расчета поля в оптическом резонаторе, а вид выражения для величины определяется конкретными параметрами рассматриваемого резонатора.

При нахождении распределения поля на зеркалах

резонатора определяются условия существования в открытом резонаторе стационарных распределений поля и соответствующих им потерь.

Стационарные распределения поля на зеркалах

резонатора физически соответствуют тем стационарным колебаниям, которые могут реально существовать в резонаторе. Для нахождения распределения поля можно использовать два способа. Первый - аналитическое нахождение функции, описывающей распределения поля на зеркалах, и второй - численное определение поля на поверхности зеркал резонатора с использованием метода последовательных приближений.

Суть этих способов заключается в следующем.

Существование реальных стационарных колебаний в резонаторе (а именно такие колебания нас интересуют) физически должно соответствовать стационарным распределениям поля на поверхности зеркал, а это означает, что после ряда отражений излучения от зеркал резонатора распределение амплитуд и фаз на их поверхностях больше не изменяется, т, е. поле на каждом зеркале (следовательно, и в любом сечении резонатора) воспроизводится после некоторого момента в неизменном виде. Учитывая сказанное, рассмотрим подход к анализу стационарных полей произвольного пассивного симметричного двухзеркального резонатора, положив в основу, например, соотношение (39), описывающее прохождение произвольного светового пучка через столь же произвольный пустой резонатор. Так как резонатор симметричный, очевидно, что поле на втором зеркале резонатора должно совпадать с точностью до постоянного по сечению комплексного множителя, учитывающего возможные дополнительные, постоянные по сечению изменения амплитуды и фазы, с полем на первом зеркале.

Учитывая сказанное, можно записать следующее

интегральное уравнение для нахождения собственных типов колебаний, или, как их еще называют, мод, являющееся условием воспроизводимости структуры пучка при проходе от одного до другого зеркала симметричного резонатора:

, (46)

где - установившееся искомое распределение поля (мода), - постоянная комплексная величина; очевидно, что есть собственная функция, а - собственное значение интегрального оператора, стоящего в правой части выражения (46).

При составлении и анализе интегрального уравнения

резонатора обычно не учитывают потери энергии и изменение фазы непосредственно на зеркалах [2]. Поэтому интегральное уравнение оптического резонатора определяет характеристики собственных волн, формируемых лишь геометро-оптическим и дифракционным преобразованием волн. Скачок фазы величиной (в случае металлических зеркал) на каждом зеркале здесь ничего не меняет, тем более, что при двойном проходе резонатора он составляет величинуи может быть отброшен. Если же зеркала имеют многослойные диэлектрические покрытия, скачки фаз уже не будут равны. Чтобы их не учитывать отдельно, при анализе можно считать, что резонатор выполнен не из диэлектрических, а из металлических зеркал, поверхности которых находятся там, где был расположен ближайший к диэлектрическому зеркалу увел поля.

Выражение (46) можно переписать в виде:

, (47)

где - ядро интегрального уравнения.

Это уравнение описывает стационарное распределение

поля на зеркалах для всех типов симметричных двухзеркальных резонаторов.

Отличие одного типа резонатора от другого

определяется формой поверхности зеркал , которая, как правило, бывает круглой или прямоугольной (в частном случае, квадратной), и ядром , вид которого определяется конфигурацией резонатора (величинами ).

Отметим следующие свойства интегрального уравнения

(47), являющегося исходным для расчета поля резонатора:

- спектр собственных функций и соответствующих им собственных значений уравнения (47) дискретен;

- в уравнении (47) можно произвести разделение переменных в случае как прямоугольных (будет показано ниже), так и круглых зеркал;

- результат решения уравнения однозначно определяется значениями следующих параметров резонаторов:

, (48)

где -радиусы зеркал резонатора; ;, ввиду чего резонаторы с одинаковыми параметрами можно считать полностью эквивалентными (т.е. имеющими одинаковые распределения поля, дифракционные потери и спектр).

Покажем на примере зеркал квадратной или

прямоугольной формы возможность разделения переменных в уравнении (47). Чтобы показать это, представим функцию и в виде:

, (49)

(50)

и воспользуемся видом интегрального оператора из выражения (47) с учетом выражения (46).

Очевидно, что интегральное уравнение распадается на

два:

, (51)

. (52)

Каждое из этих уравнений также обладает

дискретным набором собственных функций и собственных значений . Чтобы различать и уравнений (51) и (52), припишем им индексы и . Тогда искомые стационарные поля и собственные значения на зеркалах резонатора можно записать так:

, (53)

. (54)

Для круглых зеркал интегральное уравнение

удобнее записывать в цилиндрической системе координат, и в этом случае переменные также можно разделить и представить и в следующем виде:

;

,

где и - текущие полярные координаты;

Часто интегральные уравнения не имеют

аналитического решения. В этом случае, как уже указывалось, используется итерационный метод Фокса и Ли решения уравнения численными методами с помощью ЭВМ.