4. Примеры численного решения охлаждения одиночного ребра

Пример №1.

Дано: длина ребра L=0,1 м; толщина y=0,002 м; ширина z=1м; теплоемкость =500 Дж/(кгК); теплопроводность =400 Вт/(мК); плотность =10000 кг/м³; температура окружающей среды T_ос=0 ^оС; коэффициент теплоотдачи =5000 Вт/(м²К).

А) Аналитическое решение.

Дифференциальное уравнение: .

Безразмерный вид дифференциального уравнения: .

Граничные условия: при , ;

при , .

Решение дифференциального уравнения : .

П=2(z+y)=2(1+0,002)=2,004 м;

=0,0021=0,002 м²;

;

.

Результаты аналитического решения дифференциального уравнения представлены в таблице 1 и на рис. 4.1.

Табл.1

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
	1	0,327	0,107	0,035	0,011	0,0037	0,0012	0,004	1,3.10-5	4,7.10-5	2,7.10-5

КПД ребра: , где ;

.

Тогда .

Б) Численное решение методом контрольного объема.

Разделим ребро на 20 контрольных объемов, тогда:

, =0,005 [м],

[кг/c],

[кг/c].

Для расчета стационарного охлаждения ребра:

[кг/c].

Прямая прогонка  нахождение P_i и Q_i из уравнения (3.59):

, ,

где , , (здесь ).

Обратная прогонка  нахождение из уравнения (3.58), где при граничном условии 2-го рода на правой границе:

, .

Для расчета нестационарного охлаждения ребра:

, при [сек] B=0,1 [кг/c],

[кг/c],

, где .

Результаты численного решения представлены для стационарного режима на рис. 4.1, а для нестационарного на рис. 4.2 с шагом по времени 1 сек.

Рис. 4.1. Стационарное охлаждение ребра	Рис. 4.2. Нестационарное охлаждение ребра

Пример № 2.

Дано: длина ребра L=0,1 м; толщина y=0,002 м; ширина z=1м; теплоемкость =500 Дж/(кгК); плотность =10000 кг/м³; температура окружающей среды T_ос=0 ^оС; коэффициент теплоотдачи =500 Вт/(м²К); теплопроводность =1000 Вт/(мК).

А) Аналитическое решение.

Дифференциальное уравнение: .

Безразмерный вид дифференциального уравнения: .

Граничные условия: при , ;

при , .

Решение дифференциального уравнения : .

П=2(z+y)=2(1+0,002)=2,004 м;

=0,0021=0,002 м²;

; .

КПД ребра: .

Результаты аналитического решения дифференциального уравнения представлены в таблице 2 и на рис. 4.3.

Табл.2

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
	1	0,805	0,65	0,527	0,431	0,357	0,301	0,26	0,232	0,216	0,211

Б) Численное решение методом контрольного объема.

Разделим ребро на 20 контрольных объемов, тогда:

, =0,005 [м],

[кг/c],

[кг/c].

Для расчета стационарного охлаждения ребра:

[кг/c].

Прямая прогонка  нахождение P_i и Q_i из уравнения (3.59):

, ,

где , , (здесь ).

Обратная прогонка  нахождение из уравнения (3.58), где при граничном условии 2-го рода на правой границе:

, .

Для расчета нестационарного охлаждения ребра:

, при [сек] B=0,1 [кг/c],

[кг/c],

, где .

Результаты численного решения представлены для стационарного режима на рис. 4.3, а для нестационарного на рис. 4.4 с шагом по времени 1 сек.

Рис. 4.3. Стационарное охлаждение ребра	Рис. 4.4. Нестационарное охлаждение ребра

Контрольные вопросы

1. Укажите режимные параметры (физические и безразмерные), определяющие процесс теплообмена?

2. Какие безразмерные параметры определяют процесс теплообмена, их физический смысл, влияние этих параметров на решение?

3. Каковы основные особенности метода численного решения?

4. Какова сущность метода конечных разностей?

5. Порядок аппроксимации разностной схемы.

6. Методы решения системы конечно-разностной схемы.