3.2. Метод контрольного объема

Часто в элементарных учебниках по теплообмену приводят вывод конечно-разностного уравнения с помощью рядов Тейлора, а затем показывают, что результирующее уравнение соответствует условию теплового баланса в небольшой области, содержащей узловую точку [3].

Основная идея метода контрольного объема легко понятна и поддается прямой физической интерпретации. Расчетную область разбивают на некоторое число непересекающихся контрольных объемов таким образом, что каждая узловая точка содержится в одном контрольном объеме. Дифференциальное уравнение интегрируют по каждому контрольному объему. Для вычисления интегралов используют кусочные профили, которые описывают изменение T между узловыми точками. В результате находят дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения T в нескольких узловых точках.

Полученный подобным образом дискретный аналог выражает закон сохранения T для конечного контрольного объема точно так же, как дифференциальное уравнение выражает закон сохранения для бесконечно малого контрольного объема. Одним из важных свойств метода контрольного объема является то, что в нем заложено точное интегральное сохранение таких величин, как масса, количество движения и энергия на любой группе контрольных объемов и, следовательно, на всей расчетной области. Это свойство проявляется при любом числе узловых точек, а не только в предельном случае очень большого их числа. Таким образом, даже решение на грубой сетке удовлетворяет точным интегральным балансам.

Для большей ясности применим метод контрольного объема к простой задаче. Рассмотрим стационарную одномерную задачу теплопроводности, описываемую уравнением

, (3.36)

где  – коэффициент теплопроводности, T – температура, S – скорость выделения теплоты в единице объема.

Для получения дискретного аналога будет использовано показанное на рис. 3.5 расположение узловых точек. В центре нашего внимания оказывается точка P, окруженная точками E и W (E – восточная сторона, т.е. направление вдоль оси x, W – западная сторона, т.е. направление, обратное направлению оси x). Штрихом показаны границы контрольного объема; сейчас нас интересует их точное расположение. Эти границы обозначены буквами e и w. Для рассматриваемой одномерной задачи предположим, что размеры контрольного объема в направлениях y и z равны единице. Таким образом, объем показанного контрольного объема равен . Интегрируя (3.36) по контрольному объему, получаем

. (3.37)

Рис. 3.5. Шаблон узловых точек для одномерной задачи	Рис. 3.6. Интервалы, связанные с гранью контрольного объема e

Сделаем теперь предположение о виде профиля или интерполяционной формулы. В простейшем случае предполагается, что значение Т в узловой точке сохраняется для всего окружающего ее контрольного объема. Это предположение приводит к ступенчатому профилю. Для такого профиля производная на границах контрольного объема (т.е. в точках w и e) не определена. Эта трудность не возникает для кусочно-линейного профиля, у которого изменение Т между узловыми точками описывается линейными интерполяционными функциями.

Использовав для определения в уравнении (3.37) кусочно-линейный профиль, получим

, (3.38)

где – среднее по контрольному объему значение S. Полезно записать уравнение (3.38) в следующем виде:

, (3.39)

где ; ; (3.40)

; .

Возможность сохранения полного баланса дает метод контрольного объема, но при этом необходимо обеспечить правильный расчет потоков на границах контрольного объема.

Для узловых точек, показанных на рис. 3.5, нет необходимости, чтобы отрезки и были равны. Действительно, использование неравномерной сетки часто желательно, так как позволяет эффективно загружать вычислительную машину. Точные решения будут получаться только в случае достаточно мелкой сетки. Однако нет необходимости применять сетку с малым шагом в областях, где зависимая переменная Т изменяется достаточно медленно с изменением x, а мелкая сетка необходима там, где зависимость Т от x является крутой.

Наиболее простым способом определения коэффициента теплопроводности на грани контрольного объема является предположение о линейном изменении  между точками P и E. Пусть

, (3.41)

где – интерполяционный коэффициент, равный отношению отрезков, показанных на рис 3.6:

. (3.42)

Если грань контрольного объема расположить посредине между узловыми точками, то будет равно 0,5 и будет средним арифметическим и .

Основная цель данного рассмотрения  получение хорошего представления для теплового потока на грани контрольного объема:

, (3.43)

которое в сущности используется в дискретном аналоге (3.39). Соотношение, определяющее , следует выбрать так, чтобы получить правильное значение .

Теперь рассмотрим источниковый член S уравнения (3.36). Часто источниковый член является функцией самой зависимой переменной Т, и тогда желательно учесть эту зависимость при построении дискретного аналога. Однако формально можем учитывать только линейную зависимость, так как решение дискретных уравнений осуществляется с помощью методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Запишем среднее значение в виде

, (3.44)

где представляет собой постоянную составляющую S, а – коэффициент (очевидно, что не есть значение S в точке P).

Наличие в (3.44) отражает тот факт, что при записи среднего значения мы предполагали, что значение распространяется на весь контрольный объем, другими словами, использовался ступенчатый профиль (следует заметить, что можно использовать ступенчатый профиль для S и кусочно-линейный для члена ).

Дискретный аналог уравнения теплопроводности с линеаризованным источниковым членом будет иметь такой же вид, как и (3.38), но с другими выражениями для коэффициентов:

,

где ; ; (3.45)

; .

Теперь сформулируем основные правила, которым должны подчиняться дискретные аналоги уравнений для обеспечения физичности решения и сохранения полного баланса.

Правило 1. Соответствие потоков на границах контрольного объема. Выражение потока через границу, общую для двух прилегающих контрольных объемов, при записи дискретных аналогов уравнения для этих объектов должно быть одним и тем же.

Правило 2. Положительность коэффициентов. Увеличение значения в одной узловой точке должно, при прочих равных условиях, привести к увеличению (а не уменьшению) значения в соседней узловой точке. Тогда, как видно из уравнения (3.39), из увеличения при увеличении следует, что коэффициенты и должны иметь одинаковый знак.

Правило 3. Отрицательность коэффициента при линеаризации источникового члена. При линеаризации источникового члена в виде коэффициент всегда должен быть отрицателен или равен нулю.

Правило 4. Сумма соседних коэффициентов. Для случаев, когда дифференциальное уравнение удовлетворяет также при добавлении к зависимой переменной постоянной величины, необходимо, чтобы

. (3.46)

Эти правила имеют следующий общий математический смысл: правило 1 удовлетворяет условию консервативности схемы, правило 2 удовлетворяет условию монотонности, 3 и 4  удовлетворяют условию диагонального преобладания матрицы.

Решение дискретного аналога (3.39) для одномерного случая можно получить с помощью стандартного метода прогонки.

Рассмотрим нестационарную теплопередачу на примере нестационарного охлаждения ребра. Тогда уравнение переноса будет иметь вид:

. (3.47)

Для упрощения получения решения примем температуру окружающей реды ^оС (при таком условии T в уравнении (3.47) равно в уравнении (3.9)); ; ; П периметр ребра.

Разделив на Cp, получим . (3.48)

Дискретный аналог получим путем интегрирования по контрольному объему (рис. 3.5):

, (3.49)

где , ,  мало (тонкое ребро).

Предположим, что значение температуры в узловой точке распространено на весь контрольный объем (температура меняется линейно).

Представим второй интеграл в виде:

, (3.50)

где f – весовой коэффициент, изменяющийся от 0 до 1,

 соответствуют позднему значению времени, которое сохраняется в течении отрезка времени ,

 соответствуют начальному моменту времени в течение промежутка времени , .

Будем использовать полность неявную схему – f=1.

Тогда: ,

(3.51)

При упрощениях это уравнение имеет вид:

, (3.52)

где , , ,

P, W, E  узловые точки; w, e  границы КО,  поверхность грани К.О.,  источник,  отрицательно.

Объединяя коэффициенты перед температурами с одинаковыми индексами получим , (3.53)

где ;

при равномерной сетке .

Или в каноническом виде (3.13):

,

.

Разделим все члены уравнения на и введем , получим . (3.54)

Главная трудность состоит в том что не является прямым решением, мы должны решить систему уравнений. Решение дискретного аналога можно получить с помощью метода прогонки. Для удобства записи алгоритма разделим ребро (прямоугольный профиль) на 5 областей (рис. 3.7). Номера 0 и 5 относятся к точкам на границе.

В начальный момент времени, т.е. при t=0:

для i = 1: ;

для i = 2: ;

для i = 3: ;

для i = 4: ;

для i = 5: .

Рис. 3.7. Шаблон узловых точек ребра

Теперь в виде трехдиагональной матрицы :

, .

Если ^оС, то вектор столбец D будет больше на величину . Если исходное ребро имеет переменные свойства (например или ), то каждый член квадратной матрицы A имел бы индекс соответствующего контрольного объема. Например для i=3 дискретный аналог был бы записан как:

.

Как решить полученные уравнения? Самая простая альтернатива  Гауссово преобразование (т.е. манипуляция уравнением, с целью приведения коэффициентов к виду матрицы, а затем обратное преобразование). Этот метод работает очень хорошо для линейных уравнений (задачи, с постоянными свойствами). Фактически, для задач, где используются трехдиагональные матрицы (1-D задачи), общая методика Гауссового преобразования гораздо более эффективна. Например, 1-D задача теплопередачи приводит к генерации матрицы вида:

. (3.55)

Используя уравнения в строке (1), можем выразить T₁ через T₂:

. (3.56)

Используя строку (2) можно связать T₁, T₂ и T₃, но предыдущие уравнения имеют отношение к T₁ и T₂, следовательно, T₂ и T₃ могут быть связаны друг с другом:

. (3.57)

или в основном виде: , (3.58)

где и . (3.59)

Уравнения (3.58) и (3.59) полностью совпадают с уравнениями (3.32) и (3.34).

Рекуррентные соотношения (3.59) определяют и через и . Однако, если P₁ и Q₁ решены, все P_i и Q_i могут быть получены для i  N. Из уравнения (3.59) (при заданной температуре основания  граничное условие 1-го рода) после подстановки следует:

; . (3.60)

Рассмотрим различные типы граничных условий на правом конце ребра (рис. 3.7).

Пусть задана температура ребра  граничное условие 1-го рода, тогда на другом конце последовательности P_i, Q_i имеем . Это дает , и из (3.58) получаем . (3.61)

С этого момента осуществляется обратная подстановка с помощью уравнения (3.58), которая даст все .

Пусть справа задан тепловой поток  граничное условие 2-го рода, тогда . (3.62)

Из решения канонического уравнения знаем, что ,

или . (3.63)

Приравняем правые части уравнений (3.62) и (3.63):

.

Выразим температуру на торце ребра: . (3.64)

Если торец ребра теплоизолирован, т. е. , то

. (3.65)

Если задано граничное условие третьего рода (конвективный отвод тепла от поверхности торца), то

. (3.66)

Выразим температуру на торце ребра:

,

,

. (3.67)

Подставим в уравнение (3.67) выражение (3.63):

,

. (3.68)

Если принять температуру окружающей реды ^оС, то

или . (3.69)

Для определения значений C и K в уравнении (3.21) и значений M и N в уравнениях (3.29) необходимо вспомнить, что в разделе “метод конечных разностей” (стр. 15) в уравнении (3.11) , где .

Если на правой границе задано граничное условие 2-го рода т.е в уравнении (3.21), из уравнений (3.29) получим , . Подставив полученные коэффициенты в (3.35) получим . (3.70)

Если на правой границе задано граничное условие 3-го рода т.е в уравнении (3.21), то , и . (3.71)

Сравнивая выражения (3.70) и (3.64) получаем . Сравнивая выражения (3.71) и (3.69) получаем .

Можно сделать вывод, что при равномерной сетке и использовании в методе конечных разностей граничного условия первого рода, методы контрольного объема и конечных разностей совпадают.