Разностная аппроксимация с первым порядком точности

, . (3.29)

Разностная аппроксимация со вторым порядком точности

, . (3.30)

В том случае если на границах заданы значения функции, то на каждом временном шаге известны и .

Независимо от численного значения параметра ( ) значения функции на каждом временном шаге j=1,2,…M получаются в результате решения системы алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов .

Эффективным методом решения систем с диагональной матрицей является метод прогонки. Суть метода заключается в преобразовании системы (3.18) к системе с верхней (или нижней) треугольной матрицей, т.е.

. (3.31)

Размерность матрицы системы (3.18) равна (N–1). Размерность матрицы новой системы – (N+1), так как включает два уравнения для граничных условий. Коэффициенты и (i=1,2,…N-1) могут быть найдены по следующей схеме. Пусть функция T в узлах с номером i рассчитывается, как

. (3.32)

Тогда, учитывая что (3.31) справедливо для всех “i”,

. (3.32а)

После подстановки последнего соотношения в уравнение (3.13) и алгебраических преобразований получим

. (3.33)

Сравнив (3.33) с (3.32), получим формулы для вычисления коэффициентов и (i=1,2,…N-1) преобразованной системы с треугольной матрицей.

; . (3.34)

Коэффициенты вычисляются последовательно, начиная с i=1 (прямой ход прогонки). Значения и определяются видом граничного условия на левой границе, а  на правой. Например, пусть на левой границе задано значение функции , тогда . Коэффициент для граничного условия (3.21) может быть найден из уравнений (3.28) и (3.32а): и .

Решив систему из этих двух уравнений относительно , получим

. (3.35)

Коэффициенты M и N вычисляются в зависимости от вида граничного условия. В случае задания на правой границе условия , коэффициенты принимают значения: M=0, . Коэффициенты и вычисляются в прямом ходе прогонки. Таким образом, может быть вычислен . Обратный ход прогонки представляет собой собственно решение преобразованной системы с треугольной матрицей. В узле N функция рассчитывается по (3.35) а в остальных, начиная с i=N–1, последовательно (i=N–1, N–2…1) по формуле (3.32а). Описанная процедура и представляет собой алгоритм численного расчета в случае применения неявной разностной схемы. Эта процедура применяется на каждом временном шаге. При переходе на новый временной слой, изменяется только вектор-столбец D правой части системы (3.18), который вычисляется по значениям на предыдущем временном шаге. На первом временном шаге вектор D формируется из значений – начальных условий.