3.1. Метод конечных разностей

Обычная процедура получения конечно-разностных уравнений заключается в аппроксимации производных в дифференциальном уравнении рядами Тейлора, содержащими несколько первых членов [4].

Разложение функции T(x,t) в ряд Тейлора:

(3.5)

(3.6)

Если оборвать ряд на втором члене, то получим

 правая разностная производная;

 левая разностная производная.

Вычитая из (3.5) уравнение (3.6) получим

;

– центральная разностная производная по x.

Складывая уравнения (3.5) и (3.6) получим

;

 вторая центральная разностная производная по x.

Аналогично можно получить выражения для разностных производных по второй переменной, например:

 правая разностная производная по t;

 вторая центральная разностная производная по t.

Таким образом, производная может быть локально заменена тем, что называется выражением конечной разности. Для этого требуется, чтобы функция была разделена на очень маленькие отрезки. На каждом отрезке производная может быть аппроксимирована эквивалентом конечной разности.

Например, допустим, мы имеем нестационарную теплопередачу в одном направлении с внутренним тепловыделением. Тогда уравнение переноса будет иметь вид . (3.7)

Рассмотрим решение данного уравнения методом конечных разностей на примере охлаждения одиночного ребра. Уравнение (3.7) примет вид

. (3.8)

Преобразуем данное уравнение к безразмерному виду:

, (3.9)

где , а , .

Следовательно: . (3.10)

Далее используется следующая система обозначений:

; ; ; ;

;

; ;

; .

где i – номер узла сетки по координате, а j – номер узла сетки по времени.

Перепишем уравнение (3.10) в общем виде:

, при t>0, 0<x<1. (3.11)

Конечно-разностная аппроксимация уравнения (3.11), с использованием центральных разностей по x и левой разностной производной по t:

(3.12)

где i=1,2,…N–1, j>1, параметр выбирается из отрезка [0,1].

Это уравнение справедливо в локальных отрезках по объекту, в котором передается тепло. Чтобы его использовать, мы должны разделить объект на маленькие области и применить вышеупомянутое уравнение к каждой области. Таким образом, мы задаем набор линейных уравнений, которые должны быть решены для получения распределения температуры в объекте.

Перепишем уравнение (3.12) в каноническом виде:

, (3.13)

или .

Перенесем в уравнении (3.12) все составляющие для момента времени t–1 (с индексом j–1) в правую часть:

умножим обе части на (на делить нельзя, так как =0–1)

(3.14)

при i=1,2,…N–1.

Заметим, что правая часть уравнения содержит элементы для предыдущего шага по времени, равного (j–1), а левая часть содержит температуру только в новом шаге по времени. Следовательно, возможно вычислить значения T в новом шаге по времени, зная их значения в предыдущий момент времени.

Возможны несколько вариантов построения разностной схемы. Здесь рассмотрены три из них, связанные с аппроксимацией уравнения в целых узлах по координате и применением центральных разностей в моменты времени t и ( ). Вес второй конечно-разностной производной по координате для каждого из указанных моментов времени определяется параметром разностной схемы . Выбирая из отрезка [0,1] можно получить явную разностную схему ( =0), неявную (0< <1) и чисто неявную схему ( =1), когда вес производной на предыдущем временном шаге ( ) равен 0. В зависимости от выбора параметра алгоритм вычислений сеточной функции будет различным.

Явная схема: =0.

Из уравнения (3.14) следует, что

.

Функция может быть вычислена в явном виде (рис. 3.3):

. (3.15)

Рис. 3.3. Иллюстрация явной разностной схемы

В узле N рассчитывается в зависимости от вида граничного условия.

Начальные условия заданы значениями на нижнем горизонтальном отрезке. Граничные условия заданы на вертикальных отрезках и (рис. 3.3).

Обычно, мы знаем температуру в момент времени t=0. Следовательно, мы можем рассчитать температуру в новый момент времени в явном виде по формуле (3.15). Этот метод прост, но требует осторожности при применении, что связано с соблюдением определенного соотношения шагов по времени и координате, т.е. (критерий Куранта). Выбор большого шага связан с большой погрешностью вычислений, и наоборот, маленький шаг по времени приводит к нарастанию ошибки округления результатов счета. Этого недостатка лишены неявные схемы, в которых параметр выбирается как .

Неявная схема: =1.

, (3.16)

где i=1,2,…N–1, j=1,2,…M.

Коэффициенты уравнения (3.13) в каноническом виде:

. (3.17)

Система уравнений (3.16) может быть записана в матричном виде

. (3.18)

При неявной схеме необходим более сложный алгоритм вычисления сеточной функции , по сравнению с явной схемой. А именно, на каждом временном шаге приходится решать систему алгебраических уравнений (3.16), матрица коэффициентов которой имеет трехдиагональный вид с преобладанием элементов главной диагонали (что отвечает условию (3.17)). Соблюдения этого условия можно добиться варьируя . Последнее условие важно для дальнейшего шага – решения системы уравнений. Например, для устойчивости прогонки – эффективного метода решения систем уравнений с трехдиагональной матрицей, необходимо соблюдение условия (3.17).

Неявная схема: =0,5.

Из уравнения (3.14) следует:

(3.19)

где i=1,2,…N–1, j>1.

Вес вторых производных аппроксимируемых на текущем (t) и предыдущем ( ) временном слое будет одинаков.

Коэффициенты уравнения (3.13) в каноническом виде:

. (3.20)

Матрица – столбец в правой части (3.18) вычисляется в отличие от случая неявной схемы ( =1) по трем значениям функции T в соседних узлах в предыдущий момент времени ( ) [ и ].

Следует заметить, что записанные выше уравнения, как конечно-разностные аналоги уравнения в частных производных, справедливы только во внутренних точках пространства, т. е. для значений , с индексами i=1,2,…N–1 и j=1,2,…M. Для построения алгоритма численного расчета необходимо учесть граничные и начальное условия. Дальнейшим шагом должны быть конечно-разностная аппроксимация граничных условий и дискретизация начального условия. Начальное и граничные условия задаются на граничных отрезках расчетной сетки, но могут включать в себя и значения сеточной функции в прилежащих точках сетки.

Рассмотрим аппроксимацию граничных условий вида

, (3.21)

задаваемых на правой границе расчетной области (x=1). В частности при С=0, условие (3.21) в задаче теплопроводности означает поддержание на конце ребра (или на стенке) постоянной плотности потока, равной K (граничное условие II рода). Если K=0, то условие (3.21) соответствует граничному условию третьего рода (задан закон изменения теплового потока, коэффициент С в этом случае равен безразмерному коэффициенту теплообмена Bi).

Производную в левой части (3.21) можно представить, как правую разностную производную, т.е.

, (3.22)

или . (3.23)

Конечно-разностный аналог условия (3.21) имеет первый порядок точности, в то время как основное уравнение ранее представленное в дискретном виде, имеет второй порядок точности по координате x. Актуально представить граничное условие в дискретном виде со вторым порядком точности. Рассмотрим дополнительный полуцелый узел с номером i=N–1/2, отстоящий от узла N на расстоянии x/2 (рис.3.4).

Р ис. 3.4. К аппроксимации граничного условия

Тогда для любого j: .

Отсюда . (3.24)

Из основного уравнения (3.11) следует, что

. (3.25)

Приравняв правые части (3.24) и (3.25), получим

. (3.26)

Производную аппроксимируем, как центральную разностную производную по x в узле i=N–1/2, т.е. .

Производная , это следует из граничного условия.

Подставив выражения для первых производных в соотношение (3.26), выразим в явном виде  (3.27):

.

Уравнения (3.23) и (3.27) полезно переписать в виде

, (3.28)

где M и N – коэффициенты, зависящие от параметров уравнения, граничных условий и параметров x и t разностной схемы.

Их значения будут: