3. Численные методы

Одним из методов численного решения многих задач физики и техники, описываемых уравнениями математической физики, является метод конечных разностей. При использовании численного метода конечных разностей твердое тело представляют в виде совокупности узлов. Для каждого узла записывают баланс энергии, получая в итоге алгебраическое уравнение для температуры в каждом узле. Отдельные уравнения записывают для каждого узла, расположенного на границе твердого тела. В результате применения метода конечных разностей получают n алгебраических уравнений для n узлов в твердом теле. Эти n алгебраических уравнений заменяют одно уравнение в частных производных с соответствующими граничными условиями.

Если узлов в твердом теле сравнительно мало, можно решить полученную систему алгебраических уравнений стандартными математическими методами. При возрастании числа узлов для получения точного решения требуется применение ЭВМ.

Чтобы проиллюстрировать метод конечных разностей, рассмотрим двумерную задачу теплопроводности [1]. Во-первых, разделим твердое тело на равные элементарные прямоугольники. Представим, что масса каждого элементарного прямоугольника сосредоточена в его центре, называемом узлом. На рис. 3.1 показана внутренняя область типичного двумерного твердого тела. Каждый элементарный прямоугольник имеет длину в направлении x и длину в направлении y. Узел, обозначенный символом 0, окружен четырьмя соседними узлами. Представим, что каждый узел связан с соседними узлами тонкими теплопроводными стержнями. Тепло может передаваться только по этим воображаемым стержням. Другими словами, кондуктивный перенос тепла между узлами 0 и 1, который в действительности происходит в непрерывном материале через поверхность раздела высотой , мысленно заменяется переносом тепла через воображаемый стержень, соединяющий узлы 0 и 1.

В установившихся условиях баланс энергии для узла 0 при отсутствии внутреннего тепловыделения записывается в форме

. (3.1)

Затем, применяя закон Фурье для каждого члена, выражаем это уравнение через температуры в узлах. Например, первый член принимает вид

,

где градиент температуры определяется посередине между двумя узлами, а d— толщина двумерного тела по нормали к плоскости чертежа. Аналогичные выражения можно записать для остальных трех членов:

, , .

Рис. 3.1. Расположение узлов внутри двумерного твердого тела	Рис. 3.2. Расположение узлов в двумерном твердом теле, омываемом жидкостью

Если ячейки сетки имеют квадратную форму, то = , и каждое из уравнений для теплового потока становится независимым от формы тела. Однако погрешность замены градиента температуры конечной разностью двух температур зависит от размера каждой ячейки. Чем меньше ячейка, тем точнее аппроксимируется градиент температуры.

Подставляя четыре конечно-разностных соотношения в уравнение (3.1), можно видеть, что для сетки с квадратными ячейками при постоянном коэффициенте теплопроводности баланс энергии для узла 0 сводится просто к соотношению между температурой в этом узле и температурами в четырех соседних узлах

. (3.2)

Соотношение вида (3.2) применимо ко всем внутренним узлам, т.е. ко всем узлам, не лежащим на границе твердого тела и окруженным со всех сторон равноотстоящими квадратными ячейками сетки.

Иначе выражается баланс энергии для узлов, расположенных на границе твердого тела. Рассмотрим, например, узел 0, расположенный на границе твердого тела, которая находится в контакте с окружающей средой. Температура среды равна , коэффициент конвективной теплоотдачи от окружающей среды к твердому телу равен . Соответствующая схема представлена на рис. 3.2. Каждый граничный узел расположен в центре соответствующего элементарного прямоугольника. Отметим, что масса, соответствующая каждому граничному узлу, равна половине массы, соответствующей каждому внутреннему узлу.

Узел 0, расположенный на границе, может обмениваться кондуктивным потоком тепла с тремя соседними узлами в твердом теле и, кроме того, конвективным тепловым потоком с окружающей средой. Следовательно, баланс энергии для узла 0 записывается следующим образом:

.

Первые три члена выражают кондуктивный тепловой поток в твердом теле, а последний  конвективный тепловой поток к узлу 0 от окружающей среды, параметры которой обозначены индексом . Подставляя конечно-разностные аппроксимации закона Фурье для первых трех членов и закона Ньютона для последнего члена, получаем

. (3.3)

Соотношение (3.3) можно упростить, если выбрать сетку с квадратными ячейками, = . В этом случае оно сводится к виду

. (3.4)

Температуры в граничных узлах зависят от температур в соседних узлах и от параметра . Этот безразмерный комплекс имеет форму числа Био.

Если для повышения точности или при больших размерах тела требуется решить систему большого числа разностных уравнений, желательно применять ЭВМ. При расчете на ЭВМ распределения температуры в двумерном или трехмерном твердом теле удобно использовать метод обращения матрицы. Этот метод основан на представлении системы уравнений баланса энергии для узлов в форме матрицы.

Итак, в качестве основных неизвестных в численном методе рассматриваются значения зависимой переменной в конечном числе точек (называемых сеточными узлами или узловыми точками) расчетной области. Метод включает в себя получение системы алгебраических уравнений для этих неизвестных и алгоритм решения этих уравнений.

Дискретный аналог представляет собой алгебраическое уравнение, связывающее значение T в некоторой группе узловых точек. Это уравнение получается из дифференциального уравнения, описывающего изменение T, и, следовательно, оно несет ту же физическую информацию, что и дифференциальное уравнение. То, что в дискретный аналог входят значения только в нескольких узловых точках, является следствием кусочного характера выбранных профилей. При этом значение T в некоторой узловой точке оказывает влияние только на распределение T в ее ближайшей окрестности. Предполагается, что при очень большом числе узловых точек решение дискретных уравнений сближается с точным решением соответствующего дифференциального уравнения. Это следует из следующего соображения: при сближении узловых точек изменение T между соседними точками становится малым, и тогда конкретный характер предполагаемого профиля становится несущественным.