МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

___________

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(технический университет)

Э.Д. СЕРГИЕВСКИЙ, Н.В. ХОМЧЕНКО, И.В. ЯКОВЛЕВ

Расчет нестационарных параметров одиночного ребра численными методами

Методическое пособие

по курсу

“Математическое моделирование процессов

тепломассообмена”

для студентов, обучающихся по направлению

“Промышленная теплоэнергетика”

Москва Издательство МЭИ 2002

УДК

621.1

С 323

УДК: 621.1.016.44.001.57(072)

Утверждено учебным управлением МЭИ

Подготовлено на кафедре тепломассообменных процессов и установок

Рецензент: канд. техн. наук Н.В. Калинин

Сергиевский Э.Д., Хомченко Н.В., Яковлев И.В.

Расчет нестационарных параметров одиночного ребра численными методами: Методическое пособие по курсу “Математическое моделирование процессов тепломассообмена”.— М.: Издательство МЭИ, 2002. – 36 с.

Данное пособие содержит сравнение двух численных методов на примере охлаждения одиночного ребра. Дается методика численного решения системы дифференциальных уравнений методом контрольных объемов и методом конечных разностей. Также приводятся примеры сравнения численных решений с решением тех же параметров теплообмена с помощью аналитических выражений предлагаемых в учебной литературе. Результаты расчетов могут быть использованы при проведении типовых расчетов, лабораторных работ, курсовых и дипломных проектов.

Предназначено для студентов IV-V курсов по специальности “Промышленная теплоэнергетика” и может быть полезно студентам других специальностей, аспирантам, занимающимся моделированием процессов тепломассообмена в теплообменных и теплотехнологических установках с использованием вычислительных методов.

_______________

Учебное издание

Сергиевский Эдуард Дмитриевич

Хомченко Наталья Владимировна

Яковлев Игорь Васильевич

Расчет нестационарных параметров одиночного ребра численными методами

Методическое пособие

по курсу “Математическое моделирование процессов тепломассообмена”

для студентов, обучающихся по направлению “Промышленная теплоэнергетика”

Редактор Е.А. Улановская

ЛР №020528 от 05.06.97

Темплан издания МЭИ 2001 г. (1), метод. Подписано к печати 16.04.02

Формат 6084/16 Печ. л. 2,25 Тираж 300 Изд.№ 26 Заказ

Издательство МЭИ. 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14

Отпечатано в типографии ЦНИИ “Электроника”,117415,Москва, просп. Вернадского, д.39

• Московский энергетический институт, 2002

1. Принципы теплопередачи

Хотя законы термодинамики относятся к переносу энергии, они применимы лишь для систем, находящихся в равновесии. Законы термодинамики позволяют рассчитать конечную температуру, после того как две системы достигнут равновесия, и количество энергии, перенесенное при переходе от начального равновесного состояния к конечному, но они не дают возможности определить скорость переноса тепла и температуру ребра по истечении заданного промежутка времени или найти, через какое время температура ребра достигнет заданного значения [1]. Теория теплопередачи позволяет вычислить скорость переноса тепла от ребра к окружающей среде, а затем на основании этой информации рассчитать, как изменяются по времени температуры ребра и окружающей среды.

Теплопроводность является единственным видом теплопередачи в непрозрачной твердой среде. Если в такой среде существует градиент температуры, тепло переносится из высокотемпературной области в низкотемпературную. Скорость переноса тепла вследствие теплопроводности (кондуктивный тепловой поток) пропорциональна градиенту температуры и площади поверхности F, через которую идет поток тепла, или q , где T – температура, x – направление теплового потока. Действительная скорость переноса тепла зависит от коэффициента теплопроводности  – теплофизической характеристики среды. Следовательно, скорость переноса тепла можно выразить количественно соотношением . (1.1)

Знак минус обусловлен вторым законом термодинамики, согласно которому тепло должно переноситься в направлении снижения температуры. Градиент будет отрицательным, если температура снижается в направлении возрастания x. Если считать тепло, переносимое в направлении положительной оси x, положительной величиной, необходимо в правой части соотношения (1.1) поставить знак минус.

Уравнение теплопроводности является математическим выражением закона сохранения энергии в твердом веществе. Оно выводится из рассмотрения баланса энергии для элементарного объема материала, в котором происходит кондуктивный перенос тепла. Кондуктивный тепловой поток связан с распределением температуры в твердом теле законом Фурье. Общее уравнение теплопроводности учитывает аккумулирование энергии внутри материала.

Трехмерная форма уравнения теплопроводности:

. (1.2)

Первые три члена в левой части уравнения выражают результирующую скорость переноса тепла в контрольный объем (КО) вследствие теплопроводности (на единицу объема). Последний член в левой части – это скорость внутреннего тепловыделения в единице объема. Правая часть уравнения (1.2) выражает скорость изменения внутренней энергии материала на единицу объема. Каждый из членов имеет размерность энергии, отнесенной к единице времени и единице объема.

Уравнение теплопроводности, записанное в форме (1.2), является размерным. Часто удобнее переписать это уравнение таким образом, чтобы каждый член стал безразмерным. Выполнив это, мы найдем безразмерные параметры, определяющие процесс теплопроводности. Приведем одномерное уравнение теплопроводности к безразмерному виду, вводя:

безразмерную температуру , (1.3)

безразмерную пространственную координату (1.4)

безразмерное время (1.5)

Величины , и – это характерные значения температуры, длины и времени соответственно. Выбор характерных значений произволен, хотя, когда задача полностью определена, следует выбирать значения, имеющие физический смысл. Вместо отношения температур обычно удобнее применять относительную избыточную температуру; выбор безразмерных параметров изменяется от задачи к задаче. Безразмерные параметры часто выбирают таким образом, чтобы их значения изменялись в удобных пределах, например от 0 до 1. За обычно принимается максимальная координата x в системе, для которой находится распределение температуры.

Подставив определенные таким образом безразмерные величины температуры, линейной координаты и времени, получаем безразмерное одномерное уравнение теплопроводности

,

. (1.6)

Безразмерный параметр называется числом Фурье и обозначается символом Fo: (1.7)

Выбор характерных значений времени и длины, входящих в число Фурье, изменяется от задачи к задаче, но функциональный вид соотношения между ними остается неизменным. Число Фурье представляет собой отношение скорости кондуктивного переноса тепла к скорости аккумулирования энергии в материале. Число Фурье является безразмерным критерием в задачах нестационарной теплопроводности.

Чтобы найти нестационарное распределение температуры и в итоге тепловой поток, необходимо решить общее дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных, и для нахождения его общего решения требуются сложные математические методы.

Один из способов упрощения подхода к решению нестационарных задач теплопроводности состоит в том, чтобы рассмотреть класс задач, в которых поле температур в твердом теле изменяется по времени, но в любой момент времени не изменяется в пространстве. Это означает, что температура во всех точках твердого тела равномерно изменяется по времени.

Если предположить, что энергия передается от твердого тела к жидкости путем конвекции, то условие равномерного изменения температуры в твердом теле будет удовлетворяться в том случае, если сопротивление теплопроводности будет намного меньше сопротивления конвекции на поверхности. Системы, удовлетворяющие этому условию, называются системами с пренебрежимо малым внутренним термическим сопротивлением.

Если тело имеет пренебрежимо малое внутреннее термическое сопротивление, то градиенты температуры внутри тела существенно меньше, чем в окружающей среде. Чтобы определить, имеет ли тело, окруженное жидкостью, пренебрежимо малое внутреннее термическое сопротивление, следует прежде всего сравнить величины этих двух соответствующих термических сопротивлений. Это можно сделать, определив число Био, которое является безразмерным параметром  отношением кондуктивного термического сопротивления к конвективному термическому сопротивлению. Следовательно, если

, (1.8)

то внутреннее термическое сопротивление действительно мало по сравнению с внешним, или конвективным, термическим сопротивлением.

Физическими предельными значениями числа Био являются

при или

и при или .

Когда число Био стремится к нулю, твердое тело практически изотермично и изменение температуры происходит в основном в жидкости. При очень больших числах Био, наоборот, термическое сопротивление твердого тела существенно больше термического сопротивления жидкости, жидкость приблизительно изотермична, а изменение температуры происходит в основном в твердом теле.