Скользящее среднее

Прежде, чем рассчитывать сезонную компоненту (S), исходный временной ряд необходимо выровнять. Для этого применяются методы механического выравнивания, к которым относятся:

1. метод скользящих средних;

2. метод экспоненциального сглаживания;

3. метод медианного сглаживания и др.

Вычисляя скользящее среднее для временного ряда, интервал сглаживания(ширина окна) берется равным периоду сезонности. Если период сезонности – четное число,  можно выбрать одну из двух возможностей:

1. в случае взвешенного скользящего среднего, брать скользящее среднее с одинаковыми весами или же с неравными весами так, что первое и последнее наблюдения в окне имеют усредненные веса.

2. в случае простого скользящего среднего, необходимо провести процедуруцентрирования, которая заключается в повторном скольжении с шагом, равным двум. Число уровней сглаженного ряда будет меньше на величину шага скользящей средней.

После определения скользящих средних вся сезонная (т.е. внутри сезона) изменчивость будет исключена и поэтому разность (в случае аддитивной модели) или отношение (для мультипликативной модели) между наблюдаемым (Y_i) и сглаженным рядом (Ŷ_t) будет выделять сезонную составляющую плюс нерегулярную компоненту.

Таким образом, результатом процедуры сглаживания будет временной ряд выровненных значений Ŷ_t, не содержащий сезонной компоненты. То есть: ряд скользящих средних вычитается из наблюдаемого ряда (Y_i-Ŷ_t) (в аддитивной модели) или же значения наблюдаемого ряда делятся на значения скользящих средних (Y_i:Ŷ_t) (в мультипликативной модели).

Сезонная составляющая

На следующем шаге вычисляется сезонная составляющая, как среднее (для аддитивных моделей) или урезанное среднее (для мультипликативных моделей) всех значений ряда, соответствующих данной точке сезонного интервала по аналогичным временным периодам, с последующейсезонной корректировкой ряда. 

Если временной ряд представлен аддитивной моделью, то в качестве сезонной компоненты (составляющей) используется показатель абсолютного отклонения –S_Δi (S–>S_Δi). Сумма всех сезонных компонент, т.е. показателей абсолютных отклонений S_Δi должна быть равна нулю.

Если временной ряд представлен мультипликативной моделью, то в качествесезонной компоненты используется индекс сезонности – I_si (S–>I_si). Среднее всех сезонных компонент, т. е. индексов сезонности I_si, должно быть равно единице.

Обычно сумма индексов се­зонности хотя и незначительно, но отличается от 4 (для четырех кварталов сумма индексов должна быть равна 4, для года – 12, а их средняя рав­на 1,00), то для устранения этих расхождений определяется попра­вочный коэффициенткак отношение теоретической суммы ин­дексов (4,0) к фактической величине их суммы.

Показатель абсолютного отклонения в i-том сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отклонений фактического и выровненного уровней временного ряда:

Индекс сезонности в i-том сезоне рассчитывается как среднее арифметическое из отношений фактического уровня временного ряда к выровненному:

Если, при построении аддитивной модели временного ряда, сумма всех абсолютных отклонений не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значениясезонных компонент по формуле:

где L – общее количество сезонных компонент ( уровни временного ряда могут быть представлены в виде квартальных показателей, либо детализированы по месяцам за весь временной отрезок). При этом, для определения среднего значения отклонений для соответствующего периода, все отклонения необходимо сгруппировать (соответственно, по аналогичным кварталам или месяцам каждого года) и только потом определить среднюю величину отклонений, на которую и будет произведена корректировка. В  мультипликативной модели это выражается  в  том,  что  сумма  значений  сезонной  компоненты  по  всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В случае споквартальным представлением уровней временного ряда, число периодов одного цикла равно 4.

Уровни исходного временного ряда корректируются на величину сезонной компоненты следующим образом:

1) для аддитивной модели: из исходных уровней вычитаются скорректированные показатели абсолютных отклонений

S_Δi (S–>S_Δi) (У_t=T_tC_t+S_t+E_t отсюда: Y – S_Δ^скорр.=T+E)

2) для мультипликативной модели: уровни исходного временного ряда делятся на скорректированные индексы сезонности

I_si (S–>I_si) (У_t=T_t*C_t*S_t*E_t отсюда: Y : I_s^скорр.=T*E)

(Смотри на примере: Сезонная корректировка временного ряда)

На следующем этапе построения модели временного ряда осуществляется расчёттрендовой компоненты с помощью метода аналитического выравниванияфункциями времени y=f(t) или кривыми роста. Данный метод выравнивания применяют не к исходному временному ряду, а к временному ряду с исключённой сезонной компонентой. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию (T) и случайную компоненту (E).