Оценка качества нелинейных уравнений регрессии Показатели оценки качества нелинейных уравнений регрессии

Для оценки используются в основном те же основные показатели, что и в линейном случае, но методики их расчета несколько отличаются.

Коэффициент детерминации для нелинейных уравнений рассчитывается следующим образом:

(4.7)

где - остаточная дисперсия;

- общая дисперсия;

y_i – наблюдаемые значения результативного признака;

- среднее наблюдаемое значение;

– значения результативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии;

n – число наблюдений.

Как и в случае линейной регрессии, он может принимать значения от нуля до единицы. Чем ближе индекс детерминации к единице, тем теснее связь между результатом и факторами. Однако, в отличие от линейной регрессии, нелинейный коэффициент детерминации не может быть рассчитан как квадрат линейного коэффициента корреляции.

Путем сравнения нелинейного коэффициента детерминации с квадратом линейного коэффициента корреляции можно обосновать допустимость использования в модели линейной функции. Считается, что если (R² – r_xy² ≤ 0,1), то можно использовать линейную зависимость y от x.

Чтобы оценить значимость коэффициента детерминации, рассчитывают критерий Фишера по формуле (n - число наблюдений; m - число параметров при факторных переменных). Необходимо задать уровень значимости и степени свободы k₁ = m и k₂ = n – m - 1. Если F_факт. ≤ F_табл., то коэффициент детерминации является статистически незначимым; в противном случае его можно считать значимым.

Коэффициент корреляции для нелинейной регрессии рассчитывается по формуле . Принимает значения от 0 до 1.

Средняя относительная ошибка аппроксимации

Она рассчитывается по формуле (y_i – наблюдаемые значения результативного признака; – значения результативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии; n – число наблюдений). Ошибка не должна превышать некоторого изначально заданного значения.

Эластичность

Одним из приемов регрессионного анализа является расчет коэффициентов эластичности.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится результативный признак при изменении фактора на один процент. Его можно рассчитать, как отношение относительного изменения результата к относительному изменению фактора:

(4.8)

где i – номер фактора;

Δy, Δx_i – изменения результата и фактора;

y, x_i - начальные значения результата и фактора.

Например, если средний уровень дохода x в начальный момент составлял 6000 ден. ед. и изменился на Δx = 2690 ден. ед., а спрос на некоторый товар в начальный момент составлял y = 1500 ед. и изменился на Δy = 269 ед., то эластичность спроса от дохода составит . Это означает, что при изменении дохода на 1% спрос на товар меняется на 0,4%.

Между изменением результативного признака, изменениями факторов и коэффициентами эластичности существует мультипликативная связь (m - число факторов):

(4.9)

По-другому выражение (4.8) можно переписать следующим образом:

(4.10)

Применив выражение (4.10) к степенной функции y = ax^b, получим . Аналогичные рассуждения можно провести и для случая множественной регрессии. Таким образом, для такой функции коэффициенты эластичности постоянны и представляют собой не что иное, как показатели степени. Этим объясняется широкое распространение степенной функции в эконометрике (например, функция Кобба-Дугласа, кривые Энгеля).

Если кривая Энгеля имеет вид степенной функции y = ax^b, то параметр b представляет собой коэффициент эластичности доли спроса на товар от дохода, т.е. показывает, на сколько процентов увеличится эта доля при росте дохода на 1%.

В двухфакторной производственной функции Кобба-Дугласа y = aK^αL^β параметры α и β показывают, на сколько процентов изменится выпуск продукции при изменении затрат соответственно капитала и труда на 1%. При этом если α + β > 1, то производственная функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства (т.е. выпуск продукции растет быстрее, в большей пропорции, чем факторы производства). Если эта сумма меньше единицы, говорят об убывающем эффекте от масштаба производства.

Применим выражение (4.10) к линейно-логарифмической зависимости величины валового национального продукта от денежной массы y = a + b*ln x. Получим . Тогда при увеличении денежной массы на 1% ВНП в среднем возрастет на b/y процентов. Чтобы рассчитать абсолютное изменение ВНП, необходимо эластичность умножить на величину y и разделить на 100. Получим (b/y)*y/100 = b/100. Таким образом, в рассматриваемой зависимости параметр отражает абсолютное изменение результата (ВНП) при процентном изменении фактора. При увеличении предложения денег на 1%, есть основания ожидать роста ВНП на абсолютную величину 0,01b.

1 Далее в этом разделе формулы для нелинейных функций будут приведены только для случая парной регрессии, хотя эти функции можно использовать и в случае множественной регрессии.

2 Чарльз Кобб и Поль Говард Дуглас – американские экономисты, проводили исследования двухфакторной производственной функции в начале 20 в. (1928 г.)

3 Эрнст Энгель – немецкий экономист и статистик, проводил исследования указанной зависимости в 1850-х гг.

4 Лоренц Торнквист – современный шведский экономист.

5 Олбан Уильям Филлипс – английский экономист, проводил исследования указанной зависимости в конце 1950-х гг.