Виды уравнений, приводимых и неприводимых к линейной зависимости, и основные типы простейших преобразований

Проводить эконометрическое исследование с нелинейными функциями часто бывает неудобно, поэтому обычно находят способы преобразовать их в линейные. Преобразование нелинейной функции в линейную называют линеаризацией.

Можно условно выделить два типа линеаризации – через замену переменных и через логарифмирование, хотя эти подходы можно и сочетать.

Преобразование путем замены переменных

Обычно этот подход применяют к функциям, линейным по параметрам.

Рассмотрим его на примере гиперболической функции (ее еще иногда называют обратной). В уравнении гиперболы у = a/x + b осуществим замену переменных z = 1/x. После этого уравнение станет линейным: у = az + b. Неизвестные параметры этого уравнения a и b можно найти с помощью МНК.

В качестве еще одного примера рассмотрим функцию y = ax₁x₂ + b. Осуществим замену переменных следующим образом: x₃ = x₁x₂. Тогда функция примет линейный вид: y = ax₃ + b.

Логарифмическое преобразование

Этот подход обычно применяют к функциям, нелинейным по параметрам, но внутренне линейным, в результате чего они становятся линейны по параметрам. Затем к ним применяют замену переменных и получают линейные функции.

Рассмотрим этот тип линеаризации на примере степенной функции y = ax^b. Прологарифмировав обе части уравнения и заменив свободный член ln a = α, получим:

l

(4.1)

n y = α + b*ln x

Модель вида (4.1) принято называть двойной логарифмической моделью, поскольку в ней и результативный, и факторный признаки заданы в логарифмической форме.

Отметим, что степенная функция – нелинейна по параметрам, а нелинейная функция в модели (4.1) – линейна по параметрам, там как представляет собой линейную комбинацию логарифмических функций. Преобразованную модель можно линеаризовать путем замены переменных z = ln x и = = ln y, после которой уравнение примет вид

(4.2)

,

где α и b - неизвестные параметры (их можно найти с помощью МНК).

Если применить логарифмическое преобразование к экспоненциальной функции у = aе^bx , то после замены ln a = α, получим:

l

(4.3)

n y = α + bx

Модель (4.3) называют полулогарифмической или лог-линейной (поскольку только результат задан в виде логарифма).

После замены переменной = ln y из (4.3) получим линейную модель .

Если в виде логарифма задается только факторный признак (т.е. функция имеет вид y = α + b*ln x), то модель будет линейно-логарифмической (тоже полулогарифмической). Примером такой функции может служить модель зависимости величины валового национального продукта y от денежной массы x, имеющая вид y = a + b*ln x (или y = = a + b*ln x + ε). Ее можно линеаризовать путем замены переменной z = ln x.

Неприводимость к линейной зависимости в случае аддитивного включения регрессионного остатка

До сих пор при изучении линеаризации мы в большинстве случаев отвлекались от случайной компоненты регрессии ε. К сожалению, при использовании логарифмического преобразования включение в модель регрессионного остатка иногда существенно влияет на результат этого преобразования. Рассмотрим это на примере степенной регрессионной модели:

(4.4)

y = ax^b + ε

Логарифмируя обе части модели (4.4), невозможно получить двойную логарифмическую модель (4.1) из-за аддитивного (т.е. через сложение) включения случайной компоненты. Вместо этого будет получено выражение ln y = ln (ax^b + ε), которое не подлежит дальнейшему упрощению и преобразованию в линейную функцию. Поэтому здесь нельзя будет использовать линейный МНК.

Однако линеаризации можно подвергнуть степенную регрессионную модель с мультипликативным (через умножение) включением остатка:

(4.5)

y = ax^b * ε

Логарифмируя обе части модели (4.5) после замены ln a = α получим линейную по параметрам модель:

l

(4.6)

n y = α + b*ln x + ln ε

Смысл мультипликативного включения остатка заключается в том, что результативный признак подвергается случайным колебаниям не на величину ε, а в случайной пропорции ε, т.е. в ε раз.