Примеры экономических нелинейных зависимостей Основные зависимости между экономическими показателями, описываемые с помощью нелинейных моделей

Рассмотрим несколько наиболее известных зависимостей.

Производственная функция Кобба-Дугласа² представляет собой степенную модель зависимости объема производства y от затрат различных факторов производства x₁, x₂, …, x_m: . Наиболее известна двухфакторная функция Кобба-Дугласа, в которой исследуется зависимость выпуска от затрат капитала K и труда L: y = aK^αL^β.

Кривые Энгеля³ представляют собой зависимости спроса на товар (или доли расходов на определенную группу товаров) от доходов населения x. Они могут иметь вид степенной функции: y = ax^b_, b > 0. Вместе с тем, Энгель показал, что рост доли расходов на непродовольственные товары имеет уровень насыщения, т.е. эта доля растет все медленнее с ростом дохода. Поэтому для ее моделирования используется гиперболическая функция у = a/x + b (a < 0) с уровнем насыщения (горизонтальной асимптотой) b.

Кривые Торнквиста⁴. Развитием модели Энгеля являются известные кривые Торнквиста, которые моделируют зависимость спроса на различные группы товаров от дохода потребителей (рисунок 4.9). Для товаров первой необходимости кривая Торнквиста описывается функцией y = ax/(x + c). Спрос на товары второй необходимости возникает тогда, когда доход превышает определенный уровень, равный b, и может быть рассчитан по формуле y = a(x – b)/(x + c). Обе эти функции являются возрастающими, причем возрастание носит замедленный характер и имеет уровень насыщения, равный а. Спрос на предметы роскоши тоже возникает тогда, когда доход превышает определенный уровень b, но для него функция Торнквиста возрастает ускоренно и имеет вид y = ax(x – b)/(x + c).

Кривые Торнквиста принято относить к обратным функциям.

Кривая Филипса⁵ представляет собой убывающую гиперболическую функцию у = a/x + b (a > 0), описывающую зависимость между нормативами безработицы x и процентом прироста заработной платы у. С ростом уровня безработицы темп прироста заработной платы уменьшается и в пределе стремится к значению b.

Модель расчета суммы банковского вклада использует экспоненциальную функцию. Это связано с тем, что темп роста величины вклада y в каждый период представляет собой не что иное, как величину процентной ставки за этот период плюс единица. Тогда при сроке вклада x величину y можно вычислить по формуле у = ba^x = be^{x*ln a}. Здесь параметр a представляет собой темп роста вклада, а параметр b – величину вклада на начальный момент времени.

Модель зависимости величины валового национального продукта от денежной массы тоже является нелинейной и имеет вид y = a + b*ln x (y – ВНП, x – денежная масса) или y = a + b*ln x + ε (с учетом случайной компоненты) [Бородич С.А. Эконометрика: Учеб.пособие. – Минск: Новое знание, 2001. – 408 с. (С. 204).]

Способы построения и интерпретация параметров этих и других нелинейных моделей будут более подробно рассмотрены далее.

Линеаризация нелинейных моделей регрессии Два класса нелинейных уравнений регрессии

Все виды нелинейных регрессионных моделей можно разбить на два класса:

1) нелинейные относительно факторных переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

2) нелинейные по оцениваемым параметрам.

Отличие этих классов друг от друга состоит в том, что функции, линейные по параметрам, представляют собой линейную комбинацию отдельных функций, для каждой из которых все параметры известны.

В свою очередь, нелинейные по параметрам функции делят на два подкласса:

а) модели, которые можно подвергнуть линеаризации (см. далее) – так называемые внешне нелинейные, но внутренне линейные;

б) модели, которые нельзя подвергнуть линеаризации (внутренне нелинейные) – в них для оценки параметров используются численные итеративные процедуры.

Из рассмотренных выше функций к линейным по параметрам относятся все полиномы и гиперболическая функция.

Например, рассмотрим полином второй степени, т.е. квадратическую функцию y = ax² + bx + c. Эта функция нелинейна, но ее можно представить как линейную комбинацию x², x и 1 (эти выражения не содержат неизвестных параметров) с весами a, b и c. Эти веса и есть неизвестные параметры, по которым модель линейна.

Если взять в качестве примера гиперболическую функцию у = a/x + + b, то она представляет собой линейную комбинацию 1/x и 1 с весами a и b. Здесь оцениваемые параметры - a и b.

Функция вида y = ax₁x₂ + b – пример полиномиальной множественной регрессии, и она тоже линейна по оцениваемым параметрам (линейно комбинируются x₁x₂ и 1 с весами a и b).

К классу моделей, нелинейных по параметрам, относятся степенная и показательная функции, модифицированная экспонента и т.п. Их невозможно представить в виде линейных комбинаций функций с известными параметрами.