78

Нелинейные модели регрессии 61

Основные виды спецификаций нелинейных уравнений регрессии 61

Нелинейное уравнение регрессии 61

Виды зависимостей для нелинейных уравнений регрессии 61

Примеры экономических нелинейных зависимостей 67

Основные зависимости между экономическими показателями, описываемые с помощью нелинейных моделей 67

Линеаризация нелинейных моделей регрессии 70

Два класса нелинейных уравнений регрессии 70

Виды уравнений, приводимых и неприводимых к линейной зависимости, и основные типы простейших преобразований 71

Неприводимость к линейной зависимости в случае аддитивного включения регрессионного остатка 73

Оценка качества нелинейных уравнений регрессии 74

Показатели оценки качества нелинейных уравнений регрессии 74

Коэффициент детерминации для нелинейных уравнений рассчитывается следующим образом: 74

Средняя относительная ошибка аппроксимации 75

Эластичность 75

Нелинейные модели регрессии Основные виды спецификаций нелинейных уравнений регрессии Нелинейное уравнение регрессии

Рассмотрим регрессионную модель y = f(x₁, x₂, …, x_m) + ε (y – результативный признак; f(x₁, x₂, …, x_m) – уравнение регрессии; x₁, x₂, …, x_m – признаки-факторы; m – число таких факторов; ε – регрессионный остаток).

Если функция f(x₁, x₂, …, x_m) является нелинейной, то в модели используется нелинейное уравнение регрессии.

Нелинейная регрессия, как и линейная, может быть множественной (если в модели более одного факторного признака) либо парной, т.е. иметь вид y = f(x) + ε.

Виды зависимостей для нелинейных уравнений регрессии

Обычно в нелинейных регрессионных моделях используются следующие функции:

1) полиномы различных степеней, начиная со второй, т.е.

а) квадратическая функция

• y = ax² + bx + c – для парной регрессии

• y = a₁x₁² + a₂x₂² + cx₁x₂ + b₁x₁ + b₂x₂ + d - для двухфакторной регрессии

• и т.д.

График для парной регрессии (рисунок 4.1) представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0. Соответственно квадратическая функция имеет либо минимум, либо максимум в точке x = -b/2a. При a = 0 функция становится линейной (график – прямая).

График пересекает вертикальную ось в значении c (при x = 0 у = c).

Отметим, что график производной результата для этой функции линеен (поскольку производная квадратичной функции является линейной функцией у` = 2ax + b). Для линейной функции приросты постоянны (производная – константа у` = b).

С помощью этой функции удобно моделировать зависимость, при которой c ростом фактора x до x = -b/2a происходит замедленное снижение результата, а после этого – ускоренный рост (если график имеет минимум). Если он имеет максимум, то до этого момента происходит замедленный рост, а потом – ускоренное снижение.

б) кубическая функция

• y = y = ax³ + bx² + cx + d – для парной регрессии

• y = a₁x₁³ + a₂x₂³ + a₃x₁²x₂ + a₄x₁x₂² + b₁x₁² + b₂x₂² + b₃x₁x₂ + c₁x₁ + + c₂x₂ + d - для двухфакторной регрессии

• и т.д.

График для парной регрессии представляет собой кубическую параболу (рисунок 4.2).

График производной представляет собой квадратическую параболу (поскольку у` = 3ax² + 2bx + c), ветви которой направлены вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0). График второй производной – линеен.

О тметим, что график кубической функции имеет точку перегиба – переход от ускоренного снижения к замедленному. Это происходит в тот момент, когда вторая производная становится равна нулю (x = -b/3a).

В прогнозировании могут быть также использованы полиномы более высоких степеней, которые

в) и др. (полиномы 4-й, 5-й степени и т.д.) Они позволяют моделировать максимумы и минимумы для различных значений фактора, а также разнообразные другие изменения в характере зависимости.

2) степенная функция y = ax^b_, b > 0.

• y = ax^b_, b > 0 – для парной регрессии

• - для множественной регрессии

График этой функции для парной регрессии при a > 0 представлен на рисунке 4.3.

3) обратная функция¹ (гиперболическая функция) у = a/x + b

График представляет собой гиперболу (рисунок 4.4).

График функции имеет две асимптоты: горизонтальную у = b (результативный признак никогда не примет это значение, но может только бесконечно к нему приближаться; это значение называют уровнем насыщения результативного признака) и вертикальную x = 0 (график никогда не пересечет вертикальную ось).

Если a > 0, то с помощью такой функции удобно моделировать процесс замедленного снижения результата с ростом фактора (по мере приближения к уровню b результат убывает все медленнее), а если a < 0, то замедленного роста и приближения к b (при этом для x = -b/а значение результативного признака нулевое у = 0).

4) показательная (экспоненциальная) функция у = aе^bx

Г рафик представлен на рисунке 4.5.

При b > 0 функция моделирует процесс ускоренного роста, причем при x = 0 значение результативного признака равно а. При b < 0 имеет место замедленное снижение и горизонтальная асимптота у = 0 (т.е. результативный признак никогда не уменьшится до нуля). Для отрицательных a использование этой функции не целесообразно, т.к. график будет лежать ниже горизонтальной оси (только отрицательные значения результативного признака).

5) простая модифицированная экспонента у = k - aе^bx

Представляет интерес, если b < 0, т.к. позволяет моделировать уровень насыщения k (рисунок 4.6).

П ри а < 0 функция замедленно убывает, приближаясь к значению k, а при а > 0 – замедленно возрастает, также приближаясь к k. При x = 0 значение результативного признака равно k - а.

6) логистическая кривая у = k / (1 - aе^bx), а < 0, b < 0

Эту функцию лучше выбрать для моделирования результативного признака, если он имеет уровень насыщения k, причем при достижении половины этого уровня происходит переход от ускоренного роста к замедленному. При этом график функции симметричен относительно точки перегиба (рисунок 4.7).

7) функция Гомпертца у = k

Обычно используется при а < 1, b < 1. Здесь результативный признак также имеет уровень насыщения k, но график симметричным не является (рисунок 4.8), - переход от ускоренного роста к замедленному происходит несколько раньше, при достижении уровня k/e (примерно k/2,718).