Классическая задача Лагранжа

На l найти точку, из которой отрезок АВ виден под наибольшим углом. Это типичная задача Лагранжа. Она может решаться двумя путями: 1-путь- путь перебора, что является неэффективно;

2-путь –построение линий равного уровня угла .

т.е. в точке касания.

Решение задачи на ограничениях будет единственно тогда, когда и есть функции выпуклые или вогнутые.

Решение находится в точке касания линий уравнения и ограничения. А как найти решение аналитически?

Возьмем:

Найти на ограничении =0

точка А₀ абсолютно безусловный и пусть она не лежит на ограничении.

Предположим, что - гладкие выпуклые функции.

Решение задачи будет на линии уровня, касающейся ограничения.

Проведем общую касательную к 2-м кривым.

и в extr точки лежат на одной линии т.е. на перпендикулярной к обшей касательной.

Из подобия треугольников имеем:

или в виде 2-х равенств:

Это из геометрии для экстремума точки

(1)

Составим функцию Лагранжа:

Скалярное произведение

Специально по сконструированная функция

1-ое слагаемое

2-ое слагаемое произведение .

Найдем безусловный extr такой функции.

По теореме Ферма.

тоже самое что (*)

уравнение связи.

Имеем три уравнения и три неизвестные -

- неопределенное множество Лагранжа.

С помощью задача на условный extr нелинейной функции сводится к задачи на безусловный extr функции Лагранжа.

Мы (поскольку имеем необходимый условный extr) находим точки, подозрительные на extr.

Пример.

Конструируем вспомогательную функцию.

Данную функцию исследуем на extr.

Если система совместна, то она имеет единственное решение.

Подставим и в уравнение 3

: откуда

Находим:

Откуда:

x₂

Если много ограничений

тогда

Такие задачи бывают несовместны т.к. иногда ограничения экранируют друг друга

Пример:

Откуда:

Видно, что эти уравнения несовместимы.

Из рисунка видно, что экранирует т.е. второе ограничение здесь не работает.

Поэтому, когда ограничений много проще вычисляя точки находить решение для каждого ограничения.

Какие задачи можно решить методом Лагранжа из тех, которые были поставлены? Можно решать задачу распределения мощностей.

Пример.

Мощность, затрачиваемая на перекачку , где

-характеризуют состояние мощности гидр. цепей (трубопроводы, задвижки, колена и т.д).

Здесь могут быть две постановки задачи:

1. При ограничении равенства обеспечить N (т.е. к.п.д.).

2. При заданной мощности агрегатов обеспечить производительности.

Решим задачу методом Лагранжа.

Пусть

Тогда, т.е. так необходимо распределить мощности между машинами, чтобы обеспечить N.

Т.к. нагрузка меняется, то меняется и Q (пунктир). Для каждого режима заранее находится точки режима (0) и используют его при изменении нагрузки.

2) Задана получить производительность.

Пример. Имеем последовательное соединение машин, когда надо сильно поднять давление.

Ei- степень старения

уравнение связи.

должен быть постоянным при .

Отсюда видно, чтобы обеспечить это должно быть .

Мощность машин

где

-такие же коэффициенты, как и т.е. характеризуют состояние машин, их изношенность, производительность и т.д.

Постановка задачи:

1. Задано , получить .

2. Задано , получить .

Из физики работы не может быть отрицательным поэтому нам надо брать одно значение , а именно «-».

Пусть , тогда .

Задача Лагранжа в технике имеет ограниченное применение. Поэтому в технике чаще рассматриваются задачи.

на т.е. на ограничениях неравенства.

Нет общих аналитических методов решения этих задач, только численные или в частных случаях аналитические.

Проанализируем эти задачи качественно. Нам для этого понадобятся новые математические понятия.

Пусть дано уравнение:

Это уравнение называется уравнением гиперплоскости.

Гиперплоскость- множество точек, удовлетворяющих этому уравнению.

Пусть есть нелинейное уравнение.

Это гиперповерхность –множество точек, удовлетворяющих этому решению.

В 2-х мерном пространстве гиперплоскость это прямая линия, а гиперповерхность – кривая.

Возьмем

Это неравенство характеризует полупространство, т.е. множество точек, удовлетворяющих этому неравенству. Это открытое (незамкнутое) полупространство.

Возьмем

- это неравенство характеризует открытое полупространство, т.е. множество точек, удовлетворяющих этому неравенству.

Проведем операцию замыкания:

т.е. полупространство включаем и гиперплоскость. Получим замкнутое полупространство, т.е. множество точек, удовлетворяющему этому неравенству.

Также

тоже характеризует замкнутое полупространство.

Свойство этих множеств (полупространств) зависит от свойств функции .

В множествах также различают выпуклые и невыпуклые множества.

Теорема. Замкнутые множества, образованные выпуклыми или вогнутыми функциями, являются выпуклыми.

Определение выпуклости множества

, т.е. любые две точки множества и отрезок их соединяющий должны принадлежать множеству.

Теорема конструктивна, ибо всегда мы можем определить выпуклая функция или нет.

Теорема. Пересечение выпуклых является выпуклым множеством.

Если берут множеств, т.е. то уже нельзя сказать о выпуклости множеств.