- •Матрицы, виды матриц, операции над матрицами (сложение, умножение на число, транспонирование, умножение матриц)
- •Определитель матрицы. Свойства определителей
- •Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя
- •Миноры и алгебраические дополнения
- •Методы вычисления определителей
- •Определитель произведения матриц
- •Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
- •Решение простейших матричных уравнений.
- •Линейная зависимость и независимость столбцов и строк
- •Ранг матрицы.(дать два определения)
- •Методы нахождения ранга матрицы
- •Системы линейных уравнений, основные понятия, матричная запись
- •Правило Крамера
- •Теорема Кронекера-Капелли
- •Метод Гауса
- •Однородные системы уравнений
- •Фундаментальная система решений
- •Собственные значения и собственные векторы.
- •Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов
- •Векторы. Операции над векторами.
- •Линейные операции над векторами в координатной форме
- •1) Сложение векторов.
- •2) Вычитание векторов.
- •3) Умножение вектора на число.
- •Скалярное произведение векторов, свойства, геометрический смысл, выражение через координаты сомножителей. Геометрическое приложение.
- •Векторное произведение векторов, свойства, геометрический смысл, выражение через координаты сомножителей. Геометрическое приложение.
- •Смешанное произведение векторов, свойства, геометрический смысл, выражение через координаты сомножителей
- •Виды уравнений прямой на плоскости, способы их задания.
- •Виды уравнений плоскости. Способы их задания.
- •Виды уравнений прямой в пространстве. Способы их задания.
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
- •Точка пересечения прямой и плоскости.
- •Квадратичные формы. Запись, обозначения. Матрица квадратичной формы.
- •33) Приведение квадратичной формы к диагональному виду методом ортогональных преобразований.
- •34) Знакоопределенность матрицы. Критерий Сильвестра.
- •35) Канонические уравнения линий 2-го порядка. Эллипс, гипербола, парабола.
- •36) Поверхности 2-го порядка: цилиндры.
- •37) Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка: эллипсоид, конус и «седло».
- •38) Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка: гиперболоиды (одно и двуполостные).
Собственные значения и собственные векторы.
Пусть A – матрица некоторого линейного преобразования порядка n. Определение. Многочлен n-ой степени
P(l)=det(A-lЕ) (1.1)
называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы. Определение. Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию
А(х)=lх, (1.2)
называется собственным вектором преобразования A. Число l называется собственным значением. Замечание. Если в пространстве V задан базис, то это условие можно переписать следующим образом:
Ах=lх, (1.3)
где A – матрица преобразования, x – координатный столбец. Определение. Алгебраической кратностью собственного значения lj называется кратность корня lj характеристического многочлена. Определение. Совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы.
Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов
Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов
Найти собственные значения матрицы:
записать характеристическое уравнение:
det(A-lЕ)=0; (1.4)
найти его корни l j, j=1,...,n и их кратности.