3. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя

Для равенства определителя нулю необходимо и достаточно, чтобы его столбцы (строки) были линейно зависимыми.

Система столбцов называется линейно зависимой, если один из столбцов может быть представлен в виде линейной комбинации других столбцов.

Определитель матрицы равен нулю если матрица содержит строку, являющуюся линейной комбинацией остальных строк матрицы.

Доказательство: Пусть . Предположим противное, тогда строчки матрицы A линейно независимы. Значит, ранг матрицы A равен числу ее строк, и, следовательно, матрица обратима. Имеем: ¾ пришли к противоречию. Остается принять, что матрица A содержит строку, являющуюся линейной комбинацией остальных строк матрицы.

Обозначим строчки данной матрицы A через . Пусть первая строка является линейной комбинацией остальных строк: . Тогда, используя свойства 7 (Если в некоторой строке квадратной матрицы каждый элемент равен сумме двух слагаемых, то определитель этой матрицы равен сумме определителей двух матриц) и 6 (Если в квадратной матрице две строки пропорциональны, то ее определитель равен нулю), получаем

4. Миноры и алгебраические дополнения

 

Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А.

Рассмотрим матрицу A:

  

Вычеркнем из матрицы k строк с номерами i₁, i₂, ..., i_k и k столбцов, с номерами j₁, j₂, ..., j_k.

Элементы, расположенные на пересечении вычеркнутых строк, образуют определиитель,

который называется минором порядка k. Его обозначают M_k:

Минор, образованный оставшимися элементами называется дополнительным минором

минора M_k и обозначают M_k'.

Алгебраическим дополнением A_k минора M_k называется число, равное дополнительному

минору M_k', умноженному на (−1) в степени, равной сумме номеров вычеркнутыж строк и

столбцов:

Если вычеркнуты одна строка и один столбец, то соответствующие миноры и алгебраические

дополнения называют минорами и алгебраическими дополнениями элемента.

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца на их

алгебраические дополнения:

Минор, расположенный в первых k строках и k столбцах, называется угловым минором.

5. Методы вычисления определителей

Существует несколько способов вычисления определителя квадратной матрицы.

Один из них - преобразование матрицы методом Гаусса (обнуление элементов под главной диагональю) и вычисление произведения диагональных элементов матрицы.

Второй - Метод Лапласа (разложения по элементам строки или столбца)

Третий – Метод треугольника, или звездочка

При вычислении определителя квадратной матрицы важно помнить, что при перестановке строк или столбцов определителя, он меняет знак на противоположный (свойсво определителя), а также, что умножение детерминанта на число равносильно умножению на это число какой-либо его строки.