4 Построение оперативных характеристик и анализ уровней дефектности aql и lq с использованием некоторых законов

4.1 Теоретическая часть

Приемлемый уровень качества (ALQ): При рассмотрении непрерывной последовательности партий уровень качества, который является границей удовлетворительного среднего уровня качества процесса

система выборочного контроля (выборочная система): Совокупностьвыборочных планов или схем с учетом объемов партий, уровней контроля и приемлемого уровня качества AQL. Выборочная система для планов контроля на основе предельного качества LQ приведена в ГОСТ Р 50779.72.

Предельное качество (LQ): Для отдельной партии - это уровень качества, которому соответствует низкая вероятность приемки

Биномиальное распределение

Как видим, вероятности Р(Х=т) находятся по формуле Бернулли. Следовательно, биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х=т наступлений события А в п независимых испытаниях, в каж­дом из которых оно может произойти с одной и той же вероят­ностью р.

Очевидно, что определение биномиального закона корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено, ибо есть не что иное, как сумма всех членов разложения бинома Ньютона:

.

pⁿ — вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет n раз;

n · p^n – 1 · (1 – p) — вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет(n – 1) раз и не произойдет 1 раз;

C_n^n – 2 · p^n – 2 · (1 – p)² — вероятность того, что в n испытаниях событие Aпроизойдет (n – 2) раза и не произойдет 2 раза;

P_m = C_n^m · p^m · (1 – p)^n – m — вероятность того, что в n испытаниях событие Aпроизойдет m раз и не произойдет (n – m) раз;

(1 – p)ⁿ — вероятность того, что в n испытаниях событие A не произойдет ни разу;

 — число сочетаний из n по m.

Mатематическое ожидание альтернативной случайной величины равно вероятности р появления события А в единичном испытании, а ее дисперсия — произведениию веро­ятности р появления события А на вероятность q его непоявления.[1]

Теперь математическое ожидание и дисперсия рассматри­ваемой случайной величины X:

;

.

Математическое ожидание M биномиального распределения равно:

M = n · p,

где n — число испытаний, p — вероятность появления события A.

Среднеквадратичное отклонение σ:

σ = sqrt(n · p · (1 – p)).

Гипергеометрическое распределение

Определение. Дискретная случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение с параметрами п, М, N, если она принимает значения 0, 1, 2, m,..., min (n, М) с вероятно­стями

;

где M≤ N, n≤N; п, М, N — натуральные числа.

Гипергеометрическое распределение имеет случайная вели­чина Х=т — число объектов, обладающих заданным свойством, среди п объектов, случайно извлеченных (без возврата) из сово­купности N объектов, М из которых обладают этим свойством.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами п, М, N, есть

;

а ее дисперсия

.

Случайную величину Х=т, распределенную по биномиаль­ному закону, можно интерпретировать как число т объек­тов, обладающих данным свойством, из общего числа п объек­тов, случайно извлеченных из некоторой воображаемой бес­конечной совокупности, доля р объектов которой облада­ет этим свойством. Поэтому гипергеометрическое распределение можно рассматривать как модификацию биномиального распреде­ления для случая конечной совокупности, состоящей из N объектов, М из которых обладают этим свойством.[1]

Гипергеометрическое распределение широко используется в практике статистического приемочного контроля качества про­мышленной продукции, в задачах, связанных с организацией выборочных обследований, и других областях.

Закон распределения Пуассона

Определение. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона с параметром X > 0, если она при­нимает значения 0, 1, 2,..., m… (бесконечное, но счетное множе­ство значений) с вероятностями

;

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона, т.е.

M(X)=λ,

D(X)=λ.

При р→0, п →∞ пр → λ = const закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность р события А в каждом испытании мала, то за­кон распределения Пуассона называют часто законом редких яв­лений.