Процессы переноса в плазме Общие понятия процессов переноса.

Как и в обычном газе, при отступлении от термодинамического равновесия в плазме могут происходить процессы переноса массы, им­пульса и энергии, т.е. явления диффузии, вязкого трения и теплопровод­ности. При наличии неоднородности плотности, импульса или температу­ры, возникают потоки, пропорциональные градиенту соответствующей величины. Но в плазме, содержащей свободные заряды, может появиться и пространственная неоднородность распределения заряда, и, следова­тельно, перенос заряда — электрический ток.

Напомним, что согласно газокинетической теории коэффициент диффузии можно оценить как

D  (X)²/ (1) ,

где x — среднее смещение частицы при хаотических блужданиях, а

 — время между столкновениями. Величина х порядка средней длины свободного пробега  , и можно показать, что

D=1/3  V_T (2)

где V_T - тепловая скорость частиц газа. V_T=

Известны выражения для коэффициентов вязкости  и теплопро­водности k газа:

mnD , (3)

k~nD. (4)

Поясним, как возникают соотношения (1.) — (3). В качестве отправной точки будем полагать, что сечение упругих столкновений молекул является при­ближенно постоянной величиной, определяемой размером молекулы =a². В этом случае средняя длина свободного пробега зависит лишь от плотности газа и не зависит от температуры ~1/(n)~1/(a²n ). Например, при нормальных усло­виях (0 °С, 1 атм.) плотность газа равна числу Лошмидта и n= 2.710¹⁹ см^-3,  имеет порядок 10^-6 см, если

a = 5 А^O . Если газ является слабонеоднородным, то среднюю длину свободного пробега можно также считать приближенно постоян­ной величиной. Пусть газ слабо неоднороден по одной координате, например, по координате х изменяется плотность газа. Рассмотрим плоскость, перпендикуляр­ную оси х. По смыслу средней длины свободного пробега - длины, в пределах которой частицы можно считать движущимися свободно, — эту плоскость пересе­кут за единицу времени слева направо вдоль оси х все частицы, имеющие положи­тельную проекцию скорости Vx>0 и отстоящие от нее на расстоянии -v_x,/v, Vx>0. Аналогично, справа налево в обратном направлении плоскость пересекают все частицы с отрицательной компонентой скорости и отстоящие от нее на расстоя­нии v_x,/v, Vx>0. Чтобы найти результирующий поток, надо просуммировать по всем этим частицам. Учтем, что при изотропном распределении молекул по скоростям в данном направлении в среднем, очевидно, движется 1/6 часть молекул при сред­ней скорости хаотического движения V_T Тогда результирующая плотность потока частиц, пересекающих выделенную плоскость в направлении оси х, приближенно равна

j_x =

Мы видим, что плотность потока оказывается пропорциональной градиен­ту концентрации. Коэффицент пропорциональности здесь и есть коэффициент диффузии D=[см^2./сек]

Аналогично, рассматривая перенос тепла, и учитывая, что сред­няя энергия теплового движения, например, для одноатомного газа составляет 3/2Т, где Т— температура газа, которая теперь считается переменной величиной,

дня плотности теплового потока находим

что согласуется с (3). Напомним, что температуру мы измеряем в энергетиче­ских единицах. Вязкость возникает при наличии градиента средней потоковой скорости. Так, если проекция Vy средней скорости меняется по х, то из-за отсутст­вия баланса переноса импульса в противоположные стороны от выделенной нами плоскости возникает поток у-тл составляющей импульса вдоль оси х с плотностью [5]

где р — давление, а т — время между столкновениями. Поскольку для однокомпо­нентного газа р = пТ, а =/V_T, то получаем

Эти выражения для коэффициентов переноса можно применять и в расчетах коэффициентов переноса в плазме, имея, однако, в виду, что явления переноса в плазме определяются главным образом упругими столкновениями заряженных частиц. Поэтому зависимости коэффициен­тов переноса от температуры в плазме и в газе различны. В общем случае электронная и ионная компоненты плазмы могут иметь различную темпе­ратуру, и тогда рассмотрение процессов переноса усложняется, а сами

коэффициенты переноса будут зависеть от конкретного соотношения тем­ператур. В дальнейшем для простоты ограничим рассмотрение, главным образом, случаем изотермической двухкомпонентной плазмы.

Проводимость (электропроводность) плазмы

Так как плазма содержит свободные заряды, то при наложении внешнего электрического поля в плазме возможен перенос заряда. Это явление называют проводимостью (электропроводностью). По определе­нию плотность тока j и напряженность электрического поля Е связаны соотношением

(

где — проводимость, а  — потенциал электрического поля. Выражение для j соответствует, очевидно, дифференциальной форме записи обычно­го закона Ома, вспомним U= IR.

В простейшем случае при не слишком больших напряженностях электрического поля проводимость плазмы не зависит от напряженности электрического поля, и плотность тока прямо пропорциональна напря­женности. Следует иметь в виду, что пропорциональность плотности элек­трического тока величине напряженности поля имеет место не всегда, час­то эта зависимость сложнее, даже в однородном поле при Е = const.

Для не слишком больших (при данной плотности и температуре плазмы) напряженностях поля Е = -d /dx можно считать, что весь заряд переносится электронами, так как приобретаемая электронами в поле на­правленная скорость превышает скорость ионов, V_e>>V_i. Рассмотрим уп­рощенную картину. Предположим, что за время между двумя кулоновскими столкновениями с ионами _ei, электрон под действием электриче­ского поля Е набирает упорядоченную скорость V_e, т.е. импульс

т_e V_e = F *_ei который значительно меньше импульса, отвечающего его тепловому движению  т_eV_T, и пусть при каждом столкновении электрон теряет по­лученный импульс направленного движения. Другими словами, сила, ус­коряющая электрон F = еЕ, должна быть уравновешена силой трения m_e V_e/_ei возникающей из-за столкновений с неподвижными ионами:

eE= m_e V_e/_ei

Определив из этого равенства V_e и подставив полученное значение в выражение для плотности тока:

j=neV_e , получим

И находим величину про­водимости плазмы:

Этот классический результат известен как формула Спитцера

Величина b= _, есть подвижность в плазме соответствующей частицы .

. Подставив известное значение _ei , получим следующую за­висимость проводимости от параметров плазмы:

(1.70)

Здесь учтено, что поскольку кулоновский логарифм, Lc, является медленной функцией температуры и плотности плазмы, то можно при­ближенно считать его постоянной величиной. Тогда, по существу, прово­димость является функцией только электронной температуры. Аккурат­ный учет всех числовых коэффициентов приводит для водородной плазмы к следующему результату [13]:

По величине проводимости можно рассчитать удельное сопротив­ление плазмы

=  ^-1. Поскольку плазма имеет активное сопротивление, то возможен ее нагрев джоулевым теплом. При этом джоулево тепло (с плотностью тепловыделения, как известно, равной j²/) выделяется главным образом в электронной подсистеме плазмы. Электроны набирают энергию от элек­трического поля Е (а оно может быть внешним, от отдельного источника) и лишь затем в процессе теплообмена в столкновениях передают энергию ионам и атомам.. Такой нагрев называется омическим нагревом. На установках, использующих омический нагрев, удается достичь температуры ~1кэВ. Однако для даль­нейшего ее повышения необходимо искать иные пути. Дело в том, что с ростом температуры, вследствие увеличения проводимости, эффектив­ность омического нагрева уменьшается. Как известно, удельная мощность потерь энергии плазмой за счет излучения является, напротив, растущей функцией температуры (например, для тормозного механизма излучения она пропорциональна произведению ). В результате, начиная с некоторой температуры, джоулево тепловыделение уже не может компенсировать потери плазмы на излучение.

Следует учесть и еще одно чрезвычайно важное обстоятельство. Формула для проводимости плазмы верна в предположении, что набираемая электроном в электрическом поле на длине свободного пробе­га энергия значительно меньше средней тепловой энергии. Это означает, что область ее применимости ограничена слабыми электрическими поля­ми. В поле с большей напряженностью электрон должен набирать боль­шую энергию. Между тем, с увеличением энергии электрона сечение его кулоновского рассеяния на ионе, которое должно ограничивать набор энергии, быстро, обратно пропорционально квадрату энергии, убывает. Так что с увеличением энергии электрона быстро увеличивается время его движения между соударениями, следовательно, электрон между соударениями может успеть набрать во внешнем поле импульс, превы­шающий импульс, отвечающий его тепловому движению. Критерий воз­никновения такой ситуации можно сформулировать следующим образом:

При выполнении этого условия часть электронов плазмы попадает, как говорят, в режим «падающего трения», когда действующая на них эф­фективная сила трения уменьшается с ростом их энергии. В результате потеря импульса при столкновениях с ионами не может ограничить набор импульса электронами во внешнем поле, так что часть электронов может перейти в режим непрерывного ускорения. Такие электроны получили название «просвистных» или «убегающих» электронов. Если предполо­жить, что  « _ei то можно определить некоторое предельное значение поля Eкр, так называемое поле Драйсера, выше которого электроны нач­нут «уходить в просвист», т.е. будут непрерывно ускоряться :

Практически, заметная часть электронов плазмы начинает «уходить в просвист» уже при Е > 0.1Е_кр.