2.3. Проведение выборочного наблюдения

Используемый нами пакет «STATGRAPHICS» (SG) позволяет решать несколько традиционных задач анализа статистики, полученной методом выборочного наблюдения.

Всякое выборочное статистическое наблюдение можно в общем смысле разделить на два этапа: проведение собственно статистического наблюдения как этапа получения первичных данных (набор статистики) и обработку полученной статистики, включая формулировку окончательных выводов. SG может быть полезен как на первом этапе планирования и проведения выборочного наблюдения, так и на втором этапе количественной обработки его результатов.

В соответствии с заданием на курсовой проект необходимо рассчитать объем бесповторной случайной выборки по заданным начальным условиям. Расчет проводится по следующей формуле:

n = ,

где: N – объем генеральной совокупности;

t - параметр нормального распределения, находится по таблицам интегральной функции нормального распределения в соответствии с заданной доверительной вероятностью;

σ - среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности, берется из первой части работы;

Δ - предельная ошибка выборки, заданная в начальных условиях как некоторый процент от генеральной средней.

Формирование выборочной совокупности в контексте использования пакета SG возможно двумя путями. В одном случае мы получаем повторную собственно – случайную выборку (при этом необходимо помнить, что повторная выборка практически не применяется в рутинной статистической практике, но может быть весьма полезна для уяснения понятия случайной ошибки репрезентативности). Второй вариант формирования выборки даёт нам классическую бесповторную собственно – случайную выборку (в иных терминах – простую случайную выборку).

Для формирования случайной бесповторной выборки воспользуемся наиболее простой и компактной процедурой. Используется следующая командная строка в EW- окне:

VSAVE_ST000000.work1_[57_?_148] .

Или в общем виде:

VSAVE_”SG – имя”_ [n_?_N],

где “SG – имя” – полное имя переменной, содержащей анализируемую генеральную совокупность;

n и N – объем выборки и объем генеральной совокупности соответственно. Символы пробела «_» не вводятся.

Таким образом, первый этап выборочного статистического наблюдения завершен – мы имеем статистику для последующего анализа.

Обработку выборочных данных можно провести, используя следующие SG – процедуры:

• “One – Sample Analysis”;

• “Two – Sample Analysis”;

• “Summary Statistics”.

Последняя процедура менее предпочтительна, так как её использование потребует проведения некоторых дополнительных расчётов для получения такого же по полноте результата.

Выход на нужные процедуры реализуется по маршруту:

Main Menu / G. Estimation and Testing / 1. One – Sample Analysis, 2. Two – Sample Analysis.

В первом случае (1. One – Sample Analysis ) обрабатывается одна выборка, а во втором (2. Two – Sample Analysis) одновременно обрабатываются и сравниваются две выборки.

Результаты статистической обработки выборки объемом 57 единиц ( SAMPLE2) по процедуре One-Sample Analysis представлены в табл.18.

Таблица 18

Экран ввода данных для обработки одной выборки

One-Sample Analysis Results

ST000000.SAMPLE2

Sample Statistics: Number of Obs. 57

Average 119.158

Variance 149.635

Std. Deviation 12.2326

Median 120

Confidence Interval for Mean: 95 Percent

Sample 1 115.911 122.404 56 D.F.

Confidence Interval for Variance: 95 Percent

Sample 1 106.655 225.188 56 D.F.

Hypothesis Test for H0: Mean = 119.041 Computed t statistic = 0.0721465

vs Alt: NE Sig. Level = 0.942742

at Alpha = 0.05 so do not reject H0.

Complete input fields and press F6.

1Help 2Edit 3Savscr 4Prtscr 5Opts 6Go 7Vars 8Cmd 9Device 10Quit

INPUT 11/19/01 00:41 STATGRAPHICS Vers.5.0 Display ONESAM

Результатом расчета являются, в частности, выборочные средняя (Average = 119.158), дисперсия (Variance = 149.635) и среднее квадратическое отклонение (Std. Deviation = 12.2326).

По заданной доверительной вероятности (в примере 95%) строятся доверительные интервалы для неизвестных генеральных средней и дисперсии:

;

.

Наряду с определением доверительного интервала для неизвестных генеральной средней и генеральной дисперсии пользователю предоставляется возможность проверки простой гипотезы о значении генеральной средней (Hypothesis Test for H0: Mean = . . . ) против альтернативной – vs Alt: NE (не равна). В демонстрационном примере проверяется гипотеза:

H0: Mean = 119.041,

где 119.041 – точное значение генеральной средней ( берется из первой части работы).

Результат очевиден – гипотеза не отвергается (so do not reject H0).

В заключение проведём анализ двух выборок на существенность разности двух выборочных средних. Иначе эта задача формулируется как проверка статистической гипотезы о равенстве двух генеральных средних (о равенстве генеральных средних двух статистических совокупностей):

.

Содержательно задача интерпретируется как получение ответа на вопрос: взяты выборки из разных совокупностей либо из одной? В контексте решаемой задачи ответ очевиден. Все выборки взяты из одной совокупности как единственной, имеющейся в распоряжении. Но реализация случайной ошибки репрезентативности выборки может дать в редких случаях парадоксальный результат, а именно, показать на основе t-критерия, что выборки как бы взяты из разных генеральных совокупностей с разными генеральными средними. С методической точки зрения получение такого результата весьма полезно для понимания существа статистических выводов и степени их достоверности. Для решения этой задачи рекомендуется взять такие две выборки из ранее полученных, для которых

Max.

Вычисления проводятся с помощью программы «Two – Sample Analysis». В отличие от предыдущей задачи необходимо одновременно ввести две выборки. С помощью «Two – Sample Analysis» решаются следующие задачи:

• рассчитываются выборочные статистики, включая объём выборки, выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и медиану для каждой выборки и для объединённых в одну выборку данных (Pooled);

• оценивается разность между двумя выборочными средними, строится доверительный интервал для разности двух генеральных средних в предположении как известной так и неизвестной дисперсий;

• оценивается отношение двух выборочных дисперсий и строится доверительный интервал для этого отношения;

• производится проверка статистической гипотезы существенности разности между двумя выборочными средними (t – test).

Условные обозначения:

n_{1 -} объём первой выборки;

n₂ - объём второй выборки;

Х_ij - i –й элемент j –й выборки ( i = 1,n , j = 1,2)

Выборочная средняя (Average)

, j = 1,2.

Выборочная дисперсия (Variance)

S²_j = _, j = 1,2.

Среднее квадратическое отклонение ( Standard Deviation)

S_j = , j = 1,2.

Средняя ошибка выборки (Standard Error)

, j = 1,2.

Среднее квадратическое отклонение двух выборок (Pooled Standard Deviation)

,

где  дисперсия первой выборки;

 дисперсия второй выборки.

Доверительный интервал для разности генеральных средних, отвечающий 100(1 - )% доверительной вероятности, при условии неизвестных, но равных дисперсий (100(1-)% Confidence Interval for Difference in Means, Equal Variance) определяется по формуле

.

Доверительный интервал для разности генеральных средних, отвечающий 100(1 - )% доверительной вероятности, при условии неизвестных, но не равных дисперсиях (100(1-)% Confidence Interval for Difference in Means, Unequal Variance) равен

,

где m – число степеней свободы t-критерия определяется по следующим формулам:

,

если n₁ ≠ n₂ и

m = n –1 + ,

если n₁ = n₂.

Очевидно, что расчетное значение m округляется до целого значения в силу того, что число степеней свободы есть целое число по определению.⁴

Доверительный интервал для генеральной дисперсии, отвечающий (1 - ) доверительной вероятности, рассчитывается как

;

t – критерий для оценки существенности разности двух генеральных средних равен

,

где - выборочная средняя первой выборки;

- выборочная средняя второй выборки;

- гипотетическая разность между генеральными средними (в контексте проверяемой нулевой гипотезы = 0 ).

В протоколе результатов следует основное внимание обратить на проверку гипотезы о равенстве генеральных средних (Н0: Diff = 0, Diff – означает разность между средними):

Hypothesis Test for H0: Diff = 0 Computed t statistic = 0.600103

vs Alt: NE Sig. Level = 0.54965

at Alpha = 0.05 so do not reject H0.

В примере проверяемая гипотеза не отвергается (“so do not reject H0”),

т.е. наблюдаемая разность между выборочными средними статистически не

значима. В противном случае вывод будет сформулирован как “reject H0”

- «гипотеза отвергается».

В целом работа завершается наглядным графическим представлением результатов выборочного зондирования генеральной совокупности. При этом мы имеем возможность наглядного сравнения результатов выборочного и сплошного наблюдения, что абсолютно исключается в реальных условиях.

Удобным средством для построения убедительного графического образа выполненной работы является одна из программ раздела «Plotting Functions», а именно - «X-Y Line and Scatterplots» (Main Menu / E. Plotting Functions / 1.X-Y Line and Scatterplots).

Построение графика требует соблюдения некоторых формальных условий, так как процедура «X-Y Line and Scatterplots» ориентирована разработчиками на решение совершенно иной задачи. Алгоритм построения графика рассмотрим на следующем условном примере: допустим, что нами проведено 6 выборок, построено 6 доверительных интервалов для генеральной средней и, как было оговорено выше, известно значение генеральной средней.

Положим, что проведена обработка выборочных данных, доверительные интервалы построены исходя из 95% доверительной вероятности:

• выборочные средние равны: , , , , , ,

• генеральная средняя: = 12.50,

• предельные ошибки: ₁= 1.25, ₂ = 1.76, ₃ = 1.56, ₄ = 2.21, ₅ = 1.95, ₆ = 1.11.

При этом необходимо допустить условность, связанную с особенностью используемой графической программы: ₀ = 0, т.е. предельная ошибка генеральной средней принимается равной нулю.

Пример заполнения полей ввода приведен в табл. 19.

Особое внимание следует обратить на необходимость точного соответствия значений выборочных средних и предельных ошибок выборки.

График наглядно показывает, что доверительные интервалы, построенные по выборкам 1,2,3,4, и 6, накрывают генеральную среднюю, что естественно. Напротив, доверительный интервал, рассчитанный по результатам пятой выборки, не включает в себя значение генеральной средней. Если бы выборочное наблюдение проводилось в реальных условиях, это означало бы получение ошибочного вывода на основе выборки. Объясняется это очевидным образом. Нами построены доверительные интервалы, отвечающие доверительной вероятности 0.95, для неизвестной генеральной средней, что в свою очередь предполагает вероятность ошибочного вывода равную 0.05.

Построение графика требует выполнения определенной последовательности действий.

1. В поле ввода “X: ” заносятся значения средних арифметических в той последовательности, которая показана в табл. 19.

2. В поле ввода “Y:” вводятся значения, указанные в табл. 19.

3. В поле ввода “Std. Err. X:” вводятся значения предельных ошибок выборок в порядке, соответствующем порядку ввода средних.

4. В поле ввода “Std. Err. Y:” вводятся числа 0.2, 0.2, 0.2, 3.5, 0.2, 0.2, 0.2⁵.

Результат работы процедуры показан на рис.6. Полагаем, что рассмотренного примера вполне достаточно для самостоятельного освоения порядка построения графика.

X-Y Line and Scatterplots

Log10

X: 12.50 13.30 12.75 12.50 14.33 10.21 13.50 No

Y: 1 2 3 3.5 4 5 6 No

Point labels:

Point codes:

Point colors:

Std. Err. X: 1.25 1.76 1.56 0 2.21 1.95 1.11

Std. Err. Y: .2 .2 .2 3.5 .2 .2 .2

Points: Yes

Lines: No

Complete input fields and press F6.

1Help 2Edit 3Savscr 4Prtscr 5 6Go 7Vars 8Cmd 9Device 10Quit

INPUT 11/23/01 17:53 STATGRAPHICS Vers.5.0 Display PLOT

Таблица 19

Экран ввода начальных условий для построения графика

Рис.3.5. Графическое представление результатов выборочного наблюдения.

Рис.6. Графическое сравнение результатов сплошного и выборочного наблюдений

На наш взгляд, диаграмма наглядно представляет возможный результат выборочного зондирования исследуемой генеральной совокупности и убедительно иллюстрирует объективную неоднозначность выводов, формулируемых на основе выборочной статистики.

Пояснительная записка оформляется в соответствии с правилами оформления подобных работ⁶. Титульный лист оформляется по прилагаемой форме (Приложение 2). По выполненной работе составляется реферат (Приложение 3).

Приложение 1

СПбГПУ ФЭМ