3. 5 Розрахунок симетричних трифазних систем

Якщо фази навантаження з'єдна­ні зіркою (рисунок 3.4), задаються фазні навантаження Z_a = Z_b = Z_С та лінійні напруги і необхідно визначити фазні струми та напруги, обчислення виконують за формулами:

U _Ф = U _Л / , I _Л = I_Ф = U_Ф / Z_Ф;

а комплексній формі:

İ_Ф = _Ф / Z_Ф,

тобто İ_а = _а / Z_а; İ_b = _b / Z_b; İ_с = _с / Z _с.

Струм у нейтральному проводі:

İ_n = İ_а + İ_b + İ_с .

Якщо фази навантаження з'єднані три­кутником (рисунок 3.14.), за­даються лінійні напруги та фазні на­вантаження Z_ab = Z_bс = Z_сa і необхідно визначити фазні напруги та струми, обчислення виконують за формулами:

I_Ф = U_Ф / Z_Ф = U _Л / Z_Ф,

I _Л = I_Ф (при симетричному навантаженні);

а комплексній формі:

İ_Ф = _Ф / Z_Ф,

тобто İ_аb = _аb / Z_аb; İ_bс = _bс / Z_bс; İ _са = _са / Z_са.

3. 6 Розрахунок несиметричних трифазних систем

При з'єднанні фаз зіркою відомі фазні напруги джерела _А, _В, _С, фазні навантаження Z_a  Z_b  Z_С та опір нейтрального проводу Z _n (рисунок 3.22). Визначити фазні напруги на на­вантаженнях, напругу між нейтралями, лінійні струми та струм у нейтральному проводі, тобто: _a , _b , _{с , N n}, İ_А, İ_В, İ_С, İ_N.

Рисунок 3.22 – Електрична схема з’єднання фаз генератора та споживачів зіркою з нейтральним проводом

Напругу між нейтралями визначають за формулою:

,

де Y _а = 1 / Z _а; Y _b = 1 / Z _b; Y _с = 1 / Z _с; Y _n = 1 / Z _n – комплекси провідностей відповідних фаз та нейтралі, _А, _В, _С – комплекси фазних напруг джерела електричної енергії ( _А = Ė _А, _В = Ė _В, _С = Ė _С).

Фазні напруги споживача:

_a = _А – _{N n} ,

_b = _В – _{N n} ,

_с = _С – _{N n} .

Лінійні (вони ж і фазні) струми та струм у нейтральному проводі:

İ_А = _а / Z_а = Y _{а а};

İ_В = _b / Z_b = Y _{b b};

İ_С = _с / Z_с = Y _{с с} ;

İ_N = _{N n} / Z_N = Y _{N N n} .

Векторна діаграма напруг приведена на рисунку 3.23.

Якщо опір нейтрального проводу дорівнює нулеві, то потенціали точок N і п будуть рівними.

Рисунок 3.23 – Векторна діаграми напруг трифазної чотирипровідної мережі

при несиметричному навантаженні

Векторна діаграма напруг і струмів трифазної трипровідної мережі при несиметричному навантаженні приведена на рисунку 3.24.

Рисунок 3.24 – Векторна діаграми напруг і струмів трифазної трипровідної мережі

при несиметричному навантаженні

При з'єднанні трикутником (рисунок 3.14), відомі лінійні (вони ж і фазні) напруги _ab, _bс , _сa та фазні на­вантаження: Z _ab  Z _bс  Z _сa. Визначити лінійні та фазні струми İ_А, İ_В, İ_С, İ _ab, İ _bс, İ _сa.

Фазні струми:

İ _аb = _аb / Z _аb;

İ_bс = _bс / Z _bс;

İ_са = _са / Z _са.

Лінійні струми:

İ _А = İ _аb – İ _са,

İ _В = İ _bс – İ _аb ,

İ_С = İ _са – İ _bс.

Незалежно від характеру навантаження:

İ_А + İ_В + İ_С = 0.

3.7 Приклади розв'язування задач

Приклад 1. До трифазної мережі з лінійною напругою U_Л = 380 В треба увімкнути трифазний споживач, кожна фаза якого розрахована на напругу 220 В і в фазу А послідовно ввімкнули активний R = 6 Ом і індуктивний X_L = 8 Ом опори; в фазу В – активний R = 6 Ом і ємнісний X_С = 8 Ом; в фазу С – активний R = 10 Ом. Нарисувати електричну схему, визначити фазні і лінійні струми, струм в нульовому проводі, фазні напруги, а також активну, реактивну і повну потужність. Побудувати векторну діаграму. Задачу розв’язати класичним та символічним методами.

Класичний метод.

Оскільки кожна фаза споживача розрахована на напругу 220 В, тобто на напругу в раз меншу за лінійну, то споживач необхідно ввімкнути зіркою (рисунок 3.25). Діючі значення фазних напруг: U_а = U_b = U_с = U_Ф = U_Л / = 220В.

Рисунок 3.25 – Електрична схема з’єднання фаз споживачів зіркою

з нейтральним проводом

Так, як навантаження є несиметричним необхідно ввімкнути нейтральний провід.

Визначаємо повний опір кожної фази (рисунок 3.25 і рисунок 3.26):

= 10 Ом; = 10 Ом;

Z_С = R = 10 Ом.

Діючі значення фазних струмів і лінійних струмів:

I_А = I_В = I_С = I_Ф = U_Ф/Z_Ф = 220 / 10 = 22 А,

Кут зсуву фаз між напругою та струмом:

φ_а = arctq X / R = arctq 8/6= 53,13 º – навантаження індуктивне;

φ_В = arctq X / R = arctq 8/6 = –53,13 º – навантаження ємнісне;

φ_С = 0 º – навантаження активне.

Рисунок 3.26 – Електрична схема з’єднання фаз споживачів зіркою

з нейтральним проводом

Струм в нульовому проводі визначаємо, як геометричну суму векторів струмів:

Ī_А + Ī_В + Ī_С = Ī_N.

Визначаємо потужність, яку споживає електричне коло:

– Активну:

Р_а = U_а I_а cos φ_а;

Р_b = U_b I_b cos φ_b ;

Р_с = U_с I_с cos φ_с;

Р_заг = Р_а + Р_b + Р_с.

– Реактивну:

Q_а = U_а I_а sin φ_а;

Q_b = U_b I_b sin φ_b;

Q_с = U_с I_с sin φ_с.

Q_заг = Q_а + Q_b + Q_с.

– Повну:

Векторна діаграма приведена на рисунку 3.27.

Рисунок 3.27 – Векторна діаграма

У випадку симетричного навантаження:

Р = U_Л I_Л cos φ Р_Ф = Р/3;

Q = U_Л I_Л sin φ і Q _Ф = Q/3;

S = U_Л I_Л або S = 3 U_Ф I_Ф.

Символічний метод.

Визначаємо комплексні опори фаз (рисунок 3.25 і рисунок 3.28):

Z _А = R + j X_L = 6 + j8 = 10 e ^{j53,13 º} Ом; Z _В = R – j X_С = 6 – j8 = 10 e ^{– j53,13 º} Ом;

Z _С = R = 10 Ом.

Визначаємо лінійні напруги:

_Л = 380 В. Приймаємо, що лінійна напруга _аb співпадає з віссю +1 комплексної площини і запишемо, що _аb = 380 e ^{j0 º}. А лінійні напруги _bс і _са зсунуті по відношенню _аb на кут 120 º (врахувавши, що повинна бути пряма послідовність фаз, тобто _аb, _bс, _са повинні бути розміщені в такій послідовності за годинниковою стрілкою). Тобто:

_аb = 380 e ^{j0 º};

_bс = 380 e ^{– j 120 º};

_са = 380 e ^{j 120 º}.

Рисунок 3.28 – Електрична схема з’єднання фаз споживачів зіркою

з нейтральним проводом

Визначаємо фазні напруги врахувавши, що U_Ф = U_Л / і фазна напруга по відношенню до лінійної зсунута на кут 30 º за годинниковою стрілкою (рисунок 3.3).

_а = (380 / ) e ^{j 0 º– 30º} = 220 e ^{– j 30º};

_b = 220 e ^{– j 150 º};

_с = 220 e ^{j 90 º}.

Визначаємо фазні струми , а отже і лінійні:

İ_А = _а / Z _а = 220 e ^{– j 30º} / 10 e ^{j 53,13 º} = 22 e ^{– j 83, 13 º} = 22 cos (– 83, 13 º) – j 22 sin (– 83, 13 º) = 2,63 – j21,84;

İ_В = _b / Z _b = 220 e ^{– j 150 º} / 10 e ^{– j 53,13 º} = 22 e ^{– j 96, 87 º} = 22 cos (– 96,87 º) – j 22 sin (– 96,87 º) = –2,63 – j21,84;

İ_С = _с / Z _с = 220 e ^{j 90 º} / 10 e ^{j 0 º} = 22 e ^{j 90 º} = 22 cos (90 º) + j 22 sin (90 º) = j22.

Струм в нейтральному проводі:

İ_А + İ_В + İ_С = İ_N = 2,63 – j21,84 –2,63 – j21,84 + j22 = – j 21,68 = 21,68 e ^{– j 90 º}

Будуємо векторну діаграму напруг і струмів (рисунок 3.29).

Вибираємо масштаб: m _і = 1см – 10А; m _и = 1см – 80 В.

Рисунок 3.29 – Векторна діаграма

Повна потужність:

= _а İ _А* + _b İ _В* + _с İ _С*.

_а = _а İ _А* = 220 e ^{– j 30º} · 22 e ^{j 83, 13 º} = 4840 e ^{j 53,13 º} = 2904 + j 3872 ВА;

_b = _b İ _В* = 220 e ^{– j 150 º} · 22 e ^{j 96, 87 º} = 4840 e ^{– j 53,13 º} = 2904 – j 3872 ВА;

_с = _с İ _С* = 220 e ^{j 90 º} · 22 e ^{– j 90 º} = 4840 e ^{j 0 º} ВА.

Р = 4840 + 2904 + 2904 = 10648 кВт, реактивна потужність Q = 0 ВАр_.

Перевірка:

P_а = I _А² R _а = 22² × 6 = 2904 Вт; P_b = I_В² R _b = 22² × 6 = 2904 Вт; P_С = I _С² R_С = 22² × 10 = 4840 Вт; Q _а = I _А ² X _а = 22² × 8 = 3872 ВАр; Q _В = I _В² X _b= 22² × 8 = – 3872 ВАр; Q _с = 0 .

Р = P _а + P _b + P _с = 10648 кВт. Q = Q _а + Q _b + Q _с = 0.

Приклад 2. До трифазної мережі з лінійною напругою U_Л = 380 В увімкнули трифазний споживач (рисунок 3.30), кожна фаза якого розрахована на напругу 380 В. В фазу А послідовно ввімкнули активний опір R = 6 Ом і індуктивний X_L = 8 Ом; в фазу В – активний опір R = 10 Ом; в фазу С – активний опір R = 6 Ом і ємнісний X_С = 8 Ом. Визначити фазні, лінійні струми, фазні напруги, активну, реактивну і повну потужність. Побудувати векторну діаграму.

Рисунок 3.30 – Електрична схема з’єднання фаз споживачів трикутником

Роз’вязок.:

Визначаємо комплексні опори фаз (рисунок 3.30 і рисунок 3.31):

Z _аb = R + j X_L = 6 + j 8 = 10 e ^{j53,13 º} Ом;

Z _bс = R = 10 Ом;

Z _са = R – j X_С = 6 – j 8 = 10 e ^{– j53,13 º} Ом.

Визначаємо лінійні й фазні напруги:

_Л = _Ф = 380 В. Приймаємо, що лінійна напруга _аb споживача співпадає з віссю +1 комплексної площини і запишемо її в символічній формі, _аb = 380 e ^{j0 º}. А лінійні напруги споживача _bс і _са зсунуті по відношенню до _аb на кут 120 º (врахувавши, що напруги споживача повинні бути розміщені в такій послідовності _аb, _bс, _са за годинниковою стрілкою). Тобто:

_аb = 380 e ^{j0 º};

_bс = 380 e ^{– j 120 º};

_са = 380 e ^{j 120 º}.

Рисунок 3.31 – Електрична схема з’єднання фаз споживачів трикутником

Визначаємо фазні струми :

İ_аb = _аb / Z_аb = 380 e ^{j 0º} / 10 e ^{j 53,13 º} = 38 e ^{– j 53, 13 º} = 22,8 – j30,4;

İ_bс = _bс / Z _bс = 380 e ^{– j 120 º} / 10 e ^{j 0 º} = 38 e ^{– j 120 º} = –19 – j 32,91;

İ_са = _са / Z _са = 380e ^{j 120 º} / 10 e ^{– j53,13 º} = 38 e ^{j 173, 13 º} = –37,734 + j 4,63.

Визначаємо лінійні струми. Згідно першого закону Кірхгофа:

İ _а = İ _аb – İ _са ;

İ _b = İ _bс – İ _{аb ;}

İ_с = İ _са – İ _bс .

Тоді:

İ _а = 22,8 – j30,4 +37,734 – j 4,63 = 60,534 – j 35,03 = 69,94 e ^{– j 30, 06 º}

İ _b = –19 – j 32,91 – 22,8 + j30,4 = – 41,8 – j2,51 = 41,875 e ^{j 183, 44 º}

İ _с = –37,734 + j 4,63 +19 + j 32,91= –18,734 + j37,54 = 41,95 e ^{j 116, 52 º}

Перевірка:

İ _а + İ _b + İ _с = 60,534 – j 35,03 – 41,8 – j2,51–18,734 – j37,54 = 0

Будуємо векторну діаграму напруг і струмів (рисунок 3.32.).

Вибираємо масштаб: m _і = 1см – 10А; m _и = 1см – 80 В.

Рисунок 3.32 – Векторна діаграма

Повна потужність:

= _АВ İ _АВ* + _ВС İ _ВС* + _СА İ _СА*.