8.8. Потужність трифазної системи

Миттєву потужність кожної фази симетричного навантаження Z_A =

="Zb=Zc= трифазного кола, з'єднаного за схемою трипроменевої зірки, визначають так:

• у фазі А

Ра ~ ^иа і а =^ф5ІПШ^/ф8Іп(шҐ-<р) = £/_ф/фСО8ф-г/ф/_фСО8(2С0/-ф);

• у фазі В

Рв ^=ив'в =^_ф5іп(сй/-120°)72/_ф5т(со/-120°~ф) = = и_ф /_ф cos ф - и_ф /_ф cos (2 о) t - 240° - ₉);

• у фазі С

р_с =и_сі_с =л/2^ф8т|_чш/-240^о)л/2/ф5Іп((йГ-240^о-ф)-= ^_ф/_фсо5ф-(У_ф/_фсо_К(2шґ-120^о~~ф).

Миттєва потужність усіх трьох фаз системи

Р = Ра + Рв + Рс = ³^ф⁷ф ^cos^

тобто при симетричному навантаженні, симетричній системі напруг і струмів потужність трифазної системи є постійною величиною і може роз­глядатись як середнє значення потужності за час визначення синусоїдної величини.

Установлено, що при трифазному симетричному режимі роботи елек­тричного кола і з'єднанні навантаження за схемою трипроменевої зірки лінійні напруга і струм пов'язані з їхніми фазними значеннями співвідно­шеннями

и_л=4зи_ф, /_л = /_ф,

а при з'єднанні навантаження за схемою трикутника —

Отже, незалежно від схеми з'єднання навантаження добуток фазних напруги і струму

ті і -ElLi ^ІЛ-и * *"V3 ^л 41 ^л' З урахуванням цього активна потужність при симетричному навантаженні трифазної системи

р - зг/ф/ф со&ц>=4їи_лі_л соБф.

Реактивна потужність

Q = Зс/_ф/ф шіф- л/зі7_л/_л sm₉.

Повна потужність

s^w^i^Suj^ip^?.

Потужності цих трьох видів не означають, що в разі змінення з'єднан­ня навантаження з трипроменевої зірки на трикутник і навпаки потуж­ності залишаються незмінними. Пояснюється це тим, що перемикання навантаження із зірки на трикутник при незмінному значенні лінійної напруги призведе до зростання фазного струму у а/і разів, а лінійні стру­ми відповідно зростуть у три рази. Внаслідок цього потужності трьох ви­дів, які залежать від лінійних струмів, зростуть у три рази.

Потужності трифазного несиметричного навантаження 2__А ф г_в * *Z_C, з'єднаного за схемою трипроменевоїзірки без нульового проводу, визначають так:

^{р = и} А¹ л^со^л ^+иV'_всо$ч>_в+и_сІ_с со8ср_с;

Якщо навантаження з'єднане за схемою трипроменевої зірки з нульо­вим проводом, то в ньому також втрачатиметься потужність:

^РЫ =^и М¹ М^^іЧ''

8.9. МЕТОД СИМЕТРИЧНИХ СКЛАДОВИХ

Цей метод, або метод Фортеск'ю, дає змогу замінити несиметричну трифазну систему напруг та струмів сумою трьох симетричних систем або симетричними складовими, які відрізняються одна від одної розміром, розміщенням, порядком чергування фаз і називають їх прямою (1), зворот­ною (2) і нульовою (0) послідовністю (рис. 8.20, а).

Взаємне розміщення і довжина векторів напруг, струмів прямої, зво­ротної та нульової послідовностей фаз залежать від характеру і ступеня несиметричності трифазної системи величин, що розглядаються.

Користуючись фазовим оператором повороту вектора проти часової стрілки па 120°, тобто а = е⁷¹²⁰°, можна фазні напруги прямої і зворотної

Р

послідовностей, що належать до фаз В та С, виразити через напругу фа­зи А. В цьому разі отримаємо;

ОЗГЛЯІїеМО Трифазну СИНСму псиїууі у^у^. а-у— -і

заміну несиметричної системи сумою трьох симетричних систем або си­метричними складовими. _

Припустимо, що розклад на несиметричні складові можливий. У цьо­му разі несиметричну систему напруг, як суму симетричних складових, можна подати у вигляді системи рівнянь:

и_А-0_{]А +} и_2А+и_0А^и_{1 +} и_{2 +} и_д;

и_в=й_іВ + и_2В + й_0В=а²и_{+ай₂ + й₀;

и_с = й_ІС + 0_2С + йос =^ай[ + ^а2 ^2 + ^0-Визначимо суму цих рівнянь:

и_А + й_в+ІЇ_с = 3*У₀, звідки знайдемо комплексну напругу нульової послідовності фаз симет­ричних складових у вигляді

0₀-\{и_А+и_в+и_с)

Для пошуку напруги прямої послідовності фаз симетричних складо­вих помножимо друге рівняння системи напруг на фазовий оператор а, третє рівняння - на а², чим врахуємо пряме чергування фаз. Отримаємо нову систему

й_А =и₁ + й₂+0₀; а0_в =и_[ + а²и₂ + ай₀; а² ІЇ_с=й_х +аСІ₂ + а²и₀.

Після визначення суми рівнянь знаходимо комплексну напругу пря­мої послідовності фаз симетричних складових

й_А+ай_в + а² и_с = 3£У_І5

ЗВІДКИ / ч

Для пошуку напруги зворотної послідовності фаз симетричних скла­дових помножимо друге рівняння системи напруг на фазовий оператор а², третє рівняння — на а, чим врахуємо зворотне чергування фаз. Отри­маємо таку систему:

и_А=й₁₊и₂ + й₀;

а²и_в =ай₁+и₂ + а² и₀; аІІ_С"а (Іу + ІІ₂ + аІІ₀.

Після визначення суми рівнянь знаходимо комплексну напругу зво­ротної послідовності фаз симетричних складових

• 0 * * *

й₂-фА + а²й_в + ай_с)

звідки

З

За отриманими співвідношеннями для £/₀, ?7₁, ІІ₂ можна визначити симетричні складові напруг несиметричної трифазної системи за допомо­гою аналітичних розрахунків, а також графоаналітичним методом (рис. 8.21).

З векторної діаграми для нульової послідовності чергування фаз видно, що якщо комплексна сума несиметричної системи трифазних напруг до-

и_А + и_в + и_с = 0І то нульової послідовності фаз у симетрич­них складових немає (с/^ = 0^ Розрахункове відношення

називають коефіцієнтом несиметричності лінійних напруг. Якщо £, < 5 %, то систему вважають симетричною.

Щодо струмів у трифазному електричному колі, навантаження якого з'єднано за схемою трипроменевої зірки з нульовим проводом, то нульова послідовність чергування фаз

З

т _*а^^лв^¹с 'ІУ

і г\ — 1^- —

о

з

Пряму І_х і зворотну І₂ послідовності чергування фаз визначають, як у попередньому прикладі з напругою.

Якщо нульового проводу у трифазній системі немає (/^=01 то і ну­льової послідовності чергування фаз немає.

У разі, коли навантаження трифазної системи однорідне і симетричне {Х__А = г_в ^г_с=ге^](ру алеє несиметрична система фазних напруг V _А, (і_в, и_с, то розрахунок електричного кола зводиться до розкладання їх на симетричні складові ІЇ₀, й_и Щ з подальшим визначенням цих скла­дових струмів /₀, /_ь І₂ відповідно до принципу суперпозиції:

/ _ ^ ; _ А_ / ₌ А-відповідно для фазних струмів:

І_в=а² І_у + аї₂ + І₀;

т • О * *

[_с=аІ₁+а І2 ⁺ Іо-

_{РОЗДІЛ о періодичні}

У несинусоідні струми в лінійних електричних колах

Періодичні несинусоїдні струми і напруги — це такі величини, які змінюються в часі за періодичним несинусоїдним законом.

Вони виникають з таких причин: • якщо джерело напруги або струму зумовлює несинусоїдну електрору­шійну силу чи відповідно несинусоїдний струм, а всі елементи кола —

активні опори, індуктивності та ємності — лінійні, тобто не залежать від ЕРС або струму; » якщо джерело напруги або струму подає синусоїдні ЕРС чи струм, од­нак один або кілька елементів кола нелінійні;

• якщо джерело напруги або струму подає несинусоїдні ЕРС чи струм, а в складі електричного кола є один або кілька нелінійних опорів;

• якщо джерело напруги подає постійну або синусоїдну ЕРС, а один або кілька елементів кола періодично змінюються в часі.

У цьому розділі розглянемо особливості роботи лінійних електричних кіл і методику їх розрахунку в разі дії в них несинусоїдної напруги чи стру­му, тобто першу з наведених причин.

9.1. ПЕРІОДИЧНІ НЕСИНУСОЇДНІ ВЕЛИЧИНИ ТА ЇХНІ ОСОБЛИВОСТІ

Однією із причин відхилення напруги джерел живлення змінного струму від синусоїдного закону його розподілу є несинусоїдний закон роз­поділу магнітної індукції в повітряній щілині між індуктором та якорем генератора, зумовлений наявністю у його якоря феромагнітних зубців та западин, а також реакція якоря на розмагнічування поля збудження індук­тора. Приклад несинусоїдного розподілу індукції магнітного поля у по­вітряній щілині асинхронного однофазного двигуна змінного струму на­ведено на рис. 9.1.

Вивчаючи процеси в електричних колах з діючими несинусоїдними напругами, струмами, потоками, доцільно скористатися теоремою Фур'є, відповідно до якої періодична несинусоїдна величина може розглядатися як сума постійної (незалежної від часу) величини і кількох синусоїдних (гармонічних) величин з кратними частотами.

Якщо періодична функція змінюється з кутовою частотою со,

має період 2л радіан і є деякою електричною або магнітною величиною, яка протягом усього періоду має скінченну кількість розривів першого роду

20

зо

40 /, мм

і скінченну кількість максимумів або мінімумів, тобто задовольняє умови Діріхле, то її розкладення у нескінченний тригонометричний ряд Ейле-ра—Фур'є має вигляд

F(m) = A₀ +^_lmsin(co/-b\|/₁ )-r^_2msm(2co/ + vi/₂) + ---

= 4) + ,^т(Ш + ц>_к),

l

де А₀ — постійна складова, або нульова гармоніка ряду; А_кт — амплітуда к-ї гармоніки; \у _к — початкова фаза к-ї гармоніки.

Гармонічну складову тієї самої частоти со, що й періодична несинусоїд-на функція ■/•"(ю/), називають основною гармонікою, а решту — вищими гар­моніками.

Слід пам'ятати, що сума ряду Фур'є збігатиметься з функцією в усіх точках неперервності, а в точці розриву першого роду дає середнє арифметичне межових значень функції (лівого та правого) (рис. 9.2), тобто

F(fo/)-^[F(o)/-0) + F(cor + 0)].

Величини 4_}1 А_ш, А_2т ,... та розподіл їх у часі відносно початкової функції 1<((Ы) незмінні, а початкові фази \(/,, у₂>— окремих гармонік змінюються у часі в момент переходу до нового початку відліку часу.

Тригонометричний ряд Ейлера — Фур'є можна подати у вигляді си-нуспо-косинусного ряду

Р(ш) = A_Q+B_]m sin oat + В_2т sin(2со/) + --- + C_lm cosco/ + C_2m cos(2co/) + ■ ■ ■ =

= ^A0 + Z ^Bkm Sin(/cCO/) + Z Qm COS(/CCO/),

^{де Bkm - Л/ст cosy*; Ckm = 4m sinv|/^.}

Оскільки

A_km sm(kG>t + y_k) = A_km ът{Ш)са&у_к +А_кт cos(ka>t)smy_k

- B_km sin(k(ot) + C_km cos(A;co/),

то складові рівняння визначають за функцією «оригіналу» так:

В,

7cm

= ^[ J F(Got)$m(k(Qt)d((*)t); п ₀

2 тг

_>

^скт=Іі F{a>t)cos{k<t>t)d{e>t); ⁷¹ о

+ Г²

1 Qm

⁵£m

Якщо періодичну функцію зада­но не аналітичним виразом, а гра­фіком, то коефіцієнти тригономе­тричного ряду визначають приблиз­но, замінюючи інтеграли, що їх ви­значають, відповідними сумами. В разі сумісного графічного зображення окремих гармонічних складових тригонометричного ряду слід враховувати, що масштаби окремих гармонік за віссю часу неоднакові. Так, для к-ї гармоніки масштаб осі часу в к разів менший, ніж для основної гармоніки. Тобто на часовому інтервалі 2тг ра­діан повністю розміщується основна гармоніка та к повних синусоїд А:-го порядку.

Тому, будуючи А:-ту гармоніку разом з основною та в її масштабі, на осі часу замість початкової фази вищої гармоніки у _к потрібно відкладати довжину початкової фази \|/_к /к. У масштабі основної гармоніки на рис. 9.3 побудовано першу гармоніку (сог) = А_]т біпсоґ та другу гармонічну скла­дову 7⁷₂(сог) = Л_2т5іп(2юґ + у₂).

9.2. УМОВИ СИМЕТРІЇ НЕСИНУСОЇДНИХ ВЕЛИЧИН

Якщо періодична несинусоїдна величина F(wt) задовольняє умову F((ot) = -F((ot + п), то її вважають непарною і симетричною відносно осі абсцис, тобто oat. Зовнішньою ознакою такої симетрії є дзеркальне відоб­раження від'ємного півперіоду функції до її додатного півперіоду від­носно осі абсцис oat (рис. 9.4). Для таких функцій в синусно-косинус-

ному ряду Фур'є не буде: постійної складової (A_Q - 0) та парних синусних (В_2т, В_4т,В_6т,...= 0)і парних косинусних (C_2m,C_4m, C_6m,... = 0) гар­монік. Тому ряд Фур'є спрощується до вигляду

F(oat) - B_lm sin oat + В_3т sin(3co/) + ■ ■ ■ + C_lm cosoat + C_3m cos(3cor) + ■ ■ ■

або до синусного ряду з непарними складовими

F(oat)=- A_lm sin(atf + \|/j ) + Л_3т sin(3co/+ \|/₃ )+■■•.

Я

кщо періодична неси-нусоїдна величина /'(со/) за­довольняє умову /^(со/)-= 7⁷(-сог), то її вважають пар­ною функцією і симетричною відносно осі ординат, тобто

Зовнішньою ознакою та­кої симетрії є дзеркальне ві­дображення позитивного пів-періоду функції відносно осі ординат (рис. 9.5). Для таких функцій в синусно-косинус-ному ряду Фур'є не буде всіх

синусних гармонік (В_кт =0). Тому ряд Фур'є спрощується до косинус­ного:

Р(ті) = А$ +С_1т созсо/ + С_2т со5(2со/) + Сз_т соб(Зсо/) + ---.

Якщо періодична несинусоїдна величина /^(со/) задовольняє умову /'(со/) = -^(-сог), то її вважають непарною функцією і симетричною від­носно початку координат, тобто нуля. Зовнішній вигляд функції з такою симетрією наведено на рис. 9.6. Для таких функцій в синусно-косинусно-

му ряду Фур'є не буде постійної складової {А§ =0) та усіх косинусних (С_кт = 0) гармонік. Тому ряд Фур'є спрощується до вигляду

Р((йі)~ В_1т бій со/+ В_2т 8Іп(2со/) + В_3т 8іп(Зсог) + ­

9.3. РОЗКЛАДЕННЯ ПЕРІОДИЧНОЇ НЕСИНУСОЇДНОЇ ВЕЛИЧИНИ НА ГАРМОНІЧНІ СКЛАДОВІ

Періодичну несинусоїдну величину /'(со/) та її складові: першу ^(со/), третю /^?₃(оз/) і четверту ї⁷₄{())і) гармоніки наведено на рис. 9.7. Кожна із гармонік має свою початкову фазу — відповідно і]/], ц>₄- Якщо в разі поєднання графіка функції /⁷(со/) з її першою гармонікою ^ (©/) з'ясу­ється, що всі ординати величини /(со/) відрізняються від відповідних ординат першої гармоніки не більше ніж на 5 %, то періодичну величину Р(оії) вважають практично синусоїдною.

Додатково на рис. 9.7 підсумовано гармонічні складові, тобто побудо­вано функцію /V (со/) = (сог) + (оо/) + Р_А (о.)/). Як видно, отримана функ­ція істотно відрізняється від періодичної синусоїдної величини що свідчить про необхідність урахування інших гармонійних складових, як-то другої, п'ятої та ін.

Якщо добуток періодичної песинусоїдної величини Р(ш) на sin(/cю^) або со$(коії) не піддається аналітичному інтегруванню або величину задано у вигляді графіка, то ді розкладають у нескінченний триго­нометричний ряд графічним методом.

Якщо у формулах

^{4 )=ö4 /Чсо/Иоз/),}

2п

к

j /^T(co/)sm(/ccö/)c/(co/),

^{Ckm =^J /r(co/)cos(/cco/)^(co/)}

О

2к

О

інтегрування замінити підсумо­вуванням підінтегральних функ­цій для скінченної кількості т рівновіддалених на 2%/т ра­діан ординат періодичної неси-нусоїдної величини е= /⁷(ш/), то для цього слід замість спів­множника о?(сог) застосувати величину 2п/т, що дасть змо­гу визначити амплітуди гармо­нічних складових ряду у вигляді

в иразів:

і т

т

_{4) = І ^И);}

/7=1

^ т

/7-

_{с*т з ^ і: (•")«»« (*»')•}

^ /7=1

Розглянемо, наприклад, періодич­ну несинусоїдну електрорушійну силу

е=Е(Ш), подану у вигляді функції часу (рис. 9.8). Поділимо період функції на т = 8 однакових інтервалів завдовжки — = - = 45°. Відповід­но до масштабу сили є = /(соґ) наприкінці кожного інтервалу визначимо електрорушійні сили е_р е₂,... е₈. У цьому разі амплітуда постійної скла­дової гармонічного ряду Фур'є, В,

Амплітуди вищих гармонік А_кт = Е_кт визначають так:

^Акт ^ ^|{^Bkm ⁺ ^кт )'

або

т 2

^Акт ⁼ +(у^С/лп) -

п-т

^{x Еп(ш)$їпп(Ш)}

и=1

+

п-т

^{x ^(со/)с08„(£со/)}

(_Єісо₈(^>е₂соз(2^>... _{+ ги}со₅(_т^|

Складові суми підкорінного виразу, а саме е_п $іп(пк ^]^{та е}_п ^со5(^~^ ) де п = 1, 2,..., /я, можна розглядати як проекції на вертикальну і горизон-

161

Зк²⁷¹.

тк

к

тальну осі прямокутної системи координат відрізків е,, е^,... е

т

(рис. 9.8), розміщених віднос­но горизонтальної осі під кутами

2 тс

^ 2к^2п.

т т т т Таким чином, щоб визначи­ти амплітуду Е_кт к-'і гармоніки, треба від початку прямокутної системи координат під кутом

к— до горизонтальної осі вїд-т

класти відрізок у масштабі т_е

2

цієї величини, до якого, як продовження, під тим самим кутом к— до­ги

будувати відрізок <?₂ і т. д. (рис. 9.9). Останнім добудовують відрізок е_т.

Від'ємні значення електрорушійної сили е~Е(ш) враховують відрізками <?₆, с₇ (рис. 9.8), перший із яких відкладають відносно попе­реднього (<?₅) під кутом —-~ ті^ радіан.

т

, т, поділена на величину —, є за значенням і за напрямком амп-

Геометрична сума (полігон) побудованих відрізків величини е_п, де л=1,

літудою к-'і гармоніки, тобто Е_кт . Початкова фаза гармоніки визначається кутом \\і_к, який відраховують за коротшим напрямком від амплітуди гар­моніки Е_кт до додатної осі ординат. Кут вважають додатним, якщо підра­ховують його у напрямку відкладання відрізків, тобто проти часової стрілки, і від'ємним — якщо за часовою стрілкою.

Приклад графічного визначення амплітуд першої і другої гармонічних складових ряду Фур'є, поданого у вигляді часової залежності на рис. 9.8, наведено нарис. 9.10 і рис. 9.11.

В ідповідно до побудованого е*(со0 = 2,03 + 1,13зіп(со/-б5) + полігона для визначення ампліту- і + 0,79зіп(2со/+50)

ди і початкової фази першої гармо- е, В ніки ряду Фур'є Е_]т^іп((оі + у\г₁) отримаємо: Е_[т - 1,13 В, у_} =-65°, тобтоЕ_1т 5т(оії + \\)_{ ) = 1,138Іп(сог~ -65)В.

Відповідно до побудованого по­лігона для визначення амплітуди і початкової фази другої гармоніки ряду Фур'є Е_2т 8Іп(2соГ + у₂) от­римаємо: £^,_2т=0,79В, \|/[=50°, тобто £_2т 8Іп(2соґ + у₂) = 0,79&тх

х(2соґ-ь50)В.

Сумарну ЕРС є* = ^(сог), побу­довану зарядом Фур'є з урахуванням постійної складової та першої і дру­гої гармонічних складових, тобто як <?*(сог)= Е₀ +Е_Ш 8Іп(сог + \|/₁) + Е_2т х х8т(2а>г + \|/₂) = 2,03 + 1,13яп(а)г-65) + 0,798Іп((йґ + 50)В, наведено нарис. 9.12. Безумовно, її не можна вважати повним розкладенням, оскільки не досягнуто нормованої похибки розбіжності функції «образу» е' - /(соґ) та «оригіналу» е - Е(ш) у межах 5 %.

Аналогічне розкладення можна отримати без побудови полігона неси-нусоїдної величини, а саме аналітично. Як у наведеному вище прикладі, період несинусоїдної величини ділять на скінченну кількість однакових ділянок (у прикладі т = 8, бажано т = 24) і проставляють відповідні до них значення <?(сог):

т 1 2 3 4 5 6 7 8

е(сог) 1,6 2,0 3,4 4,6 5,0 -3,5 -0,8 1,9

Оскільки «оригінал» величини <?(сог) не відповідає умовам симетрії, то, розкладаючи його у синусний ряд Фур'є, варто розраховувати гар­монічні складові у кількості, достатній для отримання допустимої похиб­ки в розбіжності функції «оригіналу» з підсумковою функцією після роз­кладення е*(соґ). Так, амплітуда постійної складової

8

^{Л0=| і ея(сог) = і(і(6 + 2,0 + 3,4 + 4,6 + 5,0-1,5-0,8 + 1,9) = 2,03В.}

77=1

Амплітуда синусної складової першої гармоніки _в[т ^||:є„(йГ)8іп_ийГ = |(1,68іп45 + 2,08іп90 + 3,48іп135 + 4₎68Іп180 +

8

+5,0ап225 + (-1,5)8Іп270 + (-0,8)8Іп315 + 1,98іп360) = 0,51 В.

Амплітуда косинусної складової першої гармоніки C,_m s|x e_?j(cof)cos_rtco/ = i(l,6cos45 + 2,0cos90 + 3,4cosl35 + 4,6cosl80 +

⁸ /7=1 ⁸

+5,Qcos225 + (-l,5)cos270 + (-0,8)cos315 + l,9cos360) = -l,01B. Амплітуда першої гармонічної складової

Am = ^(^Вїт +C"im)=>/0,51² Ч- 1,01² = 1,13В.

Тангенс кута початкової фази \j/_f першої гармоніки

^ *_lm 0,51

Таким чином, якщо обмежитись постійною складовою, першою гар­монікою і другою, побудованою аналогічно, то ряд Фур'є набере вигляду

є* (сог) = Е₀ + Е_]т sin(to? + \|/j)+ £_2m sin(2cor+ \|/₂ ) = = 2,03 + l,13sin(o)/-65^o) + 0,79sin(2cor + 50)B.

9.4. ДІЮЧЕ ТА СЕРЕДНЄ ЗНАЧЕННЯ ПЕРІОДИЧНОЇ НЕСИНУСОЇДНОЇ ВЕЛИЧИНИ

В електричних колах, де є періодичні несинусоїдні струми або напруги і вони розкладені на гармонічні складові зарядом Фур'є, доводиться мати справу з обчисленням діючого або середнього значення цих величин та таких, які вимірюються приладами електромагнітної, електродинамічної, електростатичної або теплової систем і визначаються середнім квадратич­ним (ефективним) значенням їх за період визначення.

Періодичний несинусоїдний струм i(cot), для якого визначимо діюче його значення, наведено на рис. 9.13.

Підставляючи в нього вираз несинусоїдного струму, поданого у вигля­ді тригонометричного ряду Фур'є, а саме як

со

Відомо, що діюче значення величини, яка змінюється синусоїдально, визначають так:

к=\

о тримаємо діюче значення несинусоїд-ного струму у вигляді виразу

₁

со/

7/2 и

V )к=1

У рівнянні діючі значення струмів ^-х гармонік І_к знаходять за значення- ми їх амплітуд, які відомі після роз- кладення несинусоїдної величини у три- ^Рис- ⁹¹³ тонометричний ряд Фур'є за виразом І_к =1^/42.

Таким же чином обчислюють діючі значення напруги, електрорушій­ної сили:

к=\

Е = ^ЕІ+ЕІ +Е.

к=\

де діючі значення відповідних гармонік визначають як І]_к =и_кт/42, Е_к = Е_кт/42.

Підсумовуючи, можна зробити висновок про те, що діюче значення несинусоїдної величини визначається діючими значеннями кожної із гар­монічних складових і не залежить від власних початкових фаз цих гар­монік.

/і;

тах

На жаль, діюче значення несинусоїдної величини не несе інформації про її характер, форму. Тому для якісної оцінки несинусоїдної величини вводять коефіцієнти, за якими можна визначити закон змінення цієї ве­личини у часі:

коефіцієнт амплітуди к

коефіцієнт гармонік к_г - -\//| + /:

коефіцієнт спотворення к =Іл/І; . ,

/2 2 2 /

коефіцієнт спотворення синусності кривої к = ^ї_р +І_т +І_п 1у , де /„, ї_т, І„ — три найбільші амплітуди у тригонометричному ряді Фур'є;

коефіцієнт форми кф=Т/ї_с, де І_с — середнє випрямлене значення періодичної синусоїдної величини за період змінення.

Д

о

ля функцій, що зберіга- ють свій знак протягом усього періоду визначення, середнє випрямлене значення дорів- Рис. 9.14 нює постійній складовій три-

гонометричного ряду Фур'є, яка відповідає цій часовій залежності несинусоїдної функції.

Вимірювальні прилади випрямної системи реагують на середнє ви­прямлене значення величини за період визначення, а магнітоелектричної системи — на постійну складову ряду Фур'є.

9.5. ПОТУЖНІСТЬ В ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ З ПЕРІОДИЧНИМИ НЕСИНУСОЇДНИМИ ВЕЛИЧИНАМИ

Миттєва потужність в електричному колі з несинусоїдними напругою г/ = /(г) і струмом / = /(?) визначиться як р = иі, а середня потужність за період визначення функцій

Т т т

Р = — \ рЖ = — Іиі& = ~І[и₀ 5Іп(со/ + у_]) + (7₂ $іп(2со/ + у₂) + ---]х

0 о 0

х[/₀ + Лт 5Іп(со/ + у₁ -ф₁ ) + /_2т5Іп(2со/ + у₂ -ф₂ ) + •••]<# =

00

^{= и0Гі)+и1Г[ соБф! + и2Г2сощ2 +-- = и0І0+ x икТк сощк.}

к=\

Отже, середня потужність за період визначення несинусоїдних струму та напруги дорівнює сумі постійної складової потужності та середніх зна­чень потужностей усіх гармонічних складових за відповідні періоди ви­значення.

В електричних колах періодичного несинусоїдного струму, як і в елек­тричних колах синусоїдного струму, використовують поняття економіч­ного коефіцієнта корисної дії — коефіцієнта потужності. Його визнача­ють як відношення середнього значення потужності до множини діючих значень напруги і струму, тобто повної потужності:

Р Р Х = сов₉ = ^ = _?.

Слід пам'ятати, що в електричних колах з періодичними несинусоїд-ними величинами форми кривих струму і напруги можуть істотно відріз­нятися одна від одної. Тому кут зсуву струму і напруги (ф^) відповідних гармонічних складових відповідає їхнім так званим еквівалентним сину­соїдам, тобто таким синусоїдам, у яких діючі значення напруги і струму чисельно дорівнюють відповідним значенням напруги і струму несину-соїдних величин. Така заміна періодичних несинусо'їдних величин екві­валентними синусоїдами можлива тоді, коли у їхній формі немає постій­ної складової та немає потреби в занадто великій точності розрахунку.

Подібно до виразу активної потужності реактивна потужність у колі несинусоїдного струму

со

0= Т.и_кІ_к шщ_к.

к=\

Постійні складові и₀, /₀, як і в активній потужності, реактивної по­тужності не утворюють.

На відміну від кіл синусоїдного стуму, в колі несинусоїдного струму

повна потужність

Я = ^р² +д² +Т²,

де Т— потужність спотворення, яка характеризує ступінь розбіжності форм кривих напруги и = Дюґ) і струму / = /(юг).

9 б РОЗРАХУНОК ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

З ПОСТІЙНИМИ ПАРАМЕТРАМИ ЗА НАЯВНОСТІ

ВИЩИХ ГАРМОНІЧНИХ СКЛАДОВИХ

Основним завданням розрахунку лінійного електричного кола, до якого підведено несинусоїдну напругу, є встановлення виразу залежності та фор­ми струму за відомими і незмінними Я, І, С-параметрами навантаження.

Для зручності розрахунку періодичну несинусоїдну напругу джерела живлення розкладають на гармонічні складові, тобто у ряд Фур'є:

00

и = ІІ₀ + ^и_кт вт(Ш + \у_к). к=1

Наявність напруги у такій формі дає можливість здійснити заміну одно- го несинусоїдного джерел а живлення сукупністю послідовно з'єднаних дже- рел живлення з різними значеннями вихідної напруги і її частоти (рис. 9.15). _/_ _ ^-.^

У схемі електричного кола один із генерато- ±(ОоУ-{(^^ рів подає в коло постійну напругу і/₀, інші — ^- ^ч—^ ^ч~^/ синусоїдні напруги и_к зрізними кутовими час- тотами кШ та початковими фазами \ц_к. За- стосовуючи принцип суперпозиції та припус- каючи, що амплітуда струму /_кт к-'і гармоніки Рис. 9Л5

зумовлена амплітудою відповідної гармоніки напруги £Л можна мит-

Г~_с™⁴™?:^ ^{3тЙТИ ЯК С}^ ™*х значень ст^мів, які б були в електричному колі при незалежній дії в ньому окремих напруг, тобто у

ВИІЛЯДІ

со

^{/ = /}о⁺ x ^Ікт $т(Ш + у_к -ц,_к).

к=\

У цій залежності складова струму /₀ зумовлена дією напруги и_п та омічним опором кола Я Вона наявна в тригонометричному ряду струму лише за умови, що в електричному колі немає послідовно ввімкненого елемента з ємністю С. Амплітудні значення струмів вищих гармонік т зумовлені дією відповідних напруг и_{кт та} повними опорами кола 2™ кожне із яких відповідає власній кутовій частоті £со. Фазовий кут ®, вра- ховує зсув гармоніки вектора струму І_кт відносно напруги и_к , яка зу- мовлює його протікання в гілці кола. ^{кт У}

Отже, можна записати:

₄

ш£ _*-Л

V к&С)

Я

Якщо розглядати форму кривої струму / = Да>/) в електричному колі лише з активним опором Я, то слід зазначити, що ^тх^оп£ ж££-

^^^(^в^ ^{КРИВОЇ СТРУМУ П0ВТ0РЮЄ}

В електричному колі з активно-індуктивним опором навантаження збільшення номера гармоніки у тригонометричному ряду відносно напруги

призводить до зростання реактивного індуктивного опору і, як наслідок, повного опору навантаження 2 = + {к(оЬ)² . Отже, амплітуди струмів [_{кт ВИ}щих гармонік зменшуються, їх спільна дія слабшає і форма струму наближається до синусоїди більше, ніж форма напруги, прикладеної до

кола (рис. 9.16, б).

В електричному колі з активно-ємнісним опором навантаження збільшення номера гармоніки у тригонометричному ряду відносно напру­ги призводить до зменшення реактивного ємнісного опору і, як наслідок,

^{повного опору навантаження X - + Цс | ■ Отже, амплітуди струмів}

І_кт вищих гармонік збільшуються, їх спільна дія посилюється і форма струму значно більше відрізняється від синусоїди, ніж форма напруги, прикладеної до кола (рис. 9.16, в).

Значний інтерес в електричних колах становить поява в них несину-соїдного струму при синусоїдній прикладеній напрузі (електричні маши­ни трансформатори в режимі насичення, нелінійні приймачі тощо). Дійсно якщо напруга живлення кола навантаження синусоїдна, тобто визначається в тригонометричному ряду Фур'є лише першою гармонікою

и_х =гУ_т5Іп(со/+У|/_Е/), а струм навантаження несинусоїдний

со

І=Е^Гкт 5Іп(^с0/ + у_ц-ф_/{),

кЛ

то середня активна потужність навантаження за період визначиться лише першими гармоніками струму і напруги

Р-ІІуІу совфі.

Подамо активну потужність через діюче значення синусоїдної напруги як І/ = ^ = и_х, а несинусоїдний струм — через діюче значення сукуп­ності його гармонічних складових / = л/// +1\ +• ■ • ■ Тоді

Р = и_]І₁С05Ц>₁ -ШуСОБф, -Ш^СОБф, = Шс05ф.

Оскільки при несинусоїдному струмі коефіцієнт спотворення

к =-^<1

^Лсп г ^:

то коефіцієнт потужності в колі несинусоїдного струму С05ф = &_сл СОЄф! завжди менший від коефіцієнта потужності при синусоїдному струмі, тоб­то коли немає вищих гармонік. Погіршання коефіцієнта потужності в елек­тричному колі - небажане явище.

РОЗДІЛ 1 Я| електрична

10.1. ЄМНІСТЬ КОНДЕНСАТОРА

Пристрій, складений з двох металевих пластин будь-якої форми, що розміщені одна від одної на незначній відстані, заповненій діелектриком, називають конденсатором.

На пластинах конденсатора, приєднаних до затискачів джерела жив­лення, накопичуються однакові за значенням але протилежні за знаком електричні заряди 0. Значення накопиченого заряду пропорційне при­кладеній напрузі І/джерела живлення.

Властивість конденсатора накопичувати та утримувати електричні за­ряди визначається його ємністю, Ф,

^с=о/и,

де 0 ~~~ електричний заряд однієї із пластин конденсатора, Кл.

Залежно від схеми ввімкнення конденсаторів (рис. 10.1) ємність екві­валентного конденсатора визначають так:

1. При паралельному ввімкненні (рис. 10.1, а) окремо накопичені за­ряди становлять

0₁=С₁іГ;0₂^С₂СІ; ...б₍.=С,.С/;

• загальний накопичений заряд 0 = 0\ + 0₂ + • ■ ■ + 0,;

• ємність еквівалентного конденсатора

2. При послідовному ввімкненні (рис. 10.1,6) окремо накопичені заря­ди становлять

б, =02 =... = 0,-12,

С

оскільки заряди від джерела живлення надходять лише на зовнішні плас­тини ділянки конденсаторів. На внутрішніх пластинах заряд формується завдяки електростатичній індукції;

• напруга джерела живлення II = и_{ + П₂ + ... + £/,■ на кожній пластині конденсатора розподілиться обернено пропорційно його ємності

• відповідно ємність еквівалентного конденсатора

0 0

и и₁+и₂+...+и_!

або

1 ^^и\+^и2+---+^иі _ 1 1 ,±

с~ о ~с_{ с₂ - с;

Зовнішній вигляд конденсатора наведено на рис. 10.2.

Якщо діелектричний проміжок сІ«а,Ь — лінійних розмірів пластин, то електричне поле, утворене між пластинами прикладеною напругою, можна вважати однорідним. Його напруженість, зумовлена накопиченим зарядом, виходячи з умови пробою ізоляційного діелектрика,

ге_{)$ сі

Звідси ємність конденсатора, Ф, можна визначити за розмірами його пластин та діелектрика

С=2 = єє₀^8,85-10"¹²_Є^.

Тобто, як випливає з рівнянь, ємність конденсатора не залежить від напруги, прикладеної до його пластин, але залежить від розмірів пластин, товщини ізоляції діелектрика і його відносної діелектричної проникності є. Оскільки останні три параметри є незмінними для кожного конденсато­ра, то ємність його — незмінна величина.

10.2.ДВОПРОВІДНА МЕРЕЖА ЖИВЛЕННЯ

Для досліджень передачі енергії по двопровідній мережі живлення важ­ливо знати її індуктивність та електродинамічні зусилля, які виникають між проводами під час протікання в них струму, а також ємність і найбіль­шу напруженість електричного поля, яке виникає при накопиченні заря­ду. Ця інформація потрібна при виборі конструкції кріплення проводів та типу їхньої ізоляції.

Індуктивність двопровідної мережі живлення

Зовнішній вигляд двопровідної мережі живлення наведено на рис. і0.3. Довжина її і, проводи мають радіус г₀, розміщені на відстані а, і течуть в них однакові струми /, але протилежно.

Визначимо магнітний потік, який проникає між проводами крізь еле­ментарну поверхню сїЯ = Мг. Так, від проводу Р частка потоку становить

2кг

Ійг.

Повний магнітний потік, що пронизує поверхню між проводами,

Ф

іп

^Г0

^Г=Г0 1)

Оскільки сили струмів проводів однакові за умовою, провід Кзбуджу­ватиме між проводами такий самий магнітний потік: Ф^ = Ф^.

Вектори магнітної індукції, створені обома струмами, збігатимуться за напрямком, а тому підсумковий магнітний потік

Ф-2Ф_р =

к

^г0

Зазвичай а»г₀ і тому ф = 2Ф _р = ^-ГОп—, звідки індуктивність двопровідної мережі ^{71 г}°

ї я г₀

Індуктивність проводів, що перебувають у повітрі з відносною магніт­ною проникністю р = і, спрощується до вигляду

£.1Ї0.Пп^ = 4-10-⁷ПпА.

к

'о

'о

Згідно з цим виразом індуктивність проводів зазвичай визначають на 1 км їхньої довжини; вона є довідковою величиною:

Л_п=4-10~⁴1п^а-,

де г₀ —радіусжили проводу, а відносна магнітна проникність повітря ц = 1.

Ємність двопровідної мережі живлення

Зовнішній вигляд двопровідної мережі живлення наведено на рис. 10.4. Довжина її і, проводи радіуса г₀ розміщені на відстані а один від одного і мають однакові заряди 0 протилежного знака.

Визначимо напруженість електричного поля в точці А на відстані г від осі проводу.

Якщо відстань між проводам., значно більша від радіуса проводів, тоб­то а » г₀, то можна вважати, що електричний заряд 0 у проводі Ррозпо­ділено рівномірно по його поверхні й напруженість його електричного поля в точці А, віддаленій на відстань г від його осі, становить

Е ⁰

Оскільки провід має однаковий з проводом Р електричний заряд, то напруженість його електричного поля в точці А, віддаленій на відстань [а - г) від його осі, буде

Е ^{0 к} £г₀2п(а-г)£'

Вектори напруженості електричного поля, створені обома заряджени­ми проводами у точці А, збігаються за напрямком, а тому підсумковий вектор їх

о

Напруга між проводами, зумовлена електричним полем, з урахуван­ням співвідношення Е-ІІІй становить

и = | Ейг

'0

0

єє_п 2кІ

и-_Ч) а-г₀ Л

Г Ї.СІГ+ \ -?—<іг

* г а~г

^{=_о_2Ьі^ья_о_и.А}

Звідси електричний заряд, накопичений між проводами як пластинами конденсатора,

я/єє_п <2 = и- ⁰

_На/гої

а ємність

С-^ = 8,85-10~¹²є ^п('

V ' 1п(_а/г₀)*

Згідно з останнім виразом ємність проводів зазвичай визначають на І км їхньої довжини; вона є довідковою величиною:

С_п =8,85-10 -■ , ,—г,

ln(fl/r₀)

де a-q — радіус жили проводу, а відносна діелектрична проникність повітря