6.18. Повітряни й трансформатор

Трансформатор — електромагнітний пристрій, призначений для пере­творення напруги одного значення в напругу іншого значення за умови збереження частоти змінного струму. Зазвичай, щоб підсилити магнітний зв'язок, окремі котушки розміщують на феромагнітному осерді. Повітря­ний трансформатор має дві котушки, розміщені одна біля другої або одна поверх другої, але без застосування феромагнітного осердя. Котушка транс­форматора, приєднана до джерела живлення, має назву первинної, а ко­тушка, приєднана до навантаження (споживача), — вторинної. Електрич­ну схему повітряного трансформатора наведено на рис. 6.39, де наванта­ження г можна підключати до вторинної обмотки трансформатора за до­помогою двополюсного вимикача С?Е

и_х =І_хг_х+](лІ_х І_Х = Г_ХІ_Х. Під час холостого ходу частина потокозчеп- лення Ч*, первинної обмотки IV, з параметрами _Рис. ₆,з₉

Спочатку розглянемо режим холостого ходу трансформатора, в якому при г = °о струм у навантаженні /₂ = 0. Рівняння електричної рівноваги трансформатора можна записати лише для первинної обмотки у вигляді

+1 0	/юХ-і/і' ^ урі
-1 / Г2+г)А
~і	б

Рис. 6.40

/|, ^ пронизує витки вторинної обмотки >у₂ з параметрами г₂, 1^ і відпо­відно до закону електромагнітної індукції наводить у витках електро­рушійну силу взаємоіндукції Е_2М —усоМД. Векторну діаграму холосто­го ходу повітряного трансформатора наведено на рис. 6.40, а.

Якщо вторинну обмотку трансформатора замкнути вимикачем ОР на навантаження, опір якого г< ос (див. рис. 6.39), то струм 1₂ > 0 у вторинно­му колі зумовить появу власного потокозчеплення Ч'з, частина якого охоп­люватиме витки первинної обмотки і, за законом електромагнітної індукції, наводитиме в ній електрорушійну силу взаємоіндукції Е_ш =~;соМІ₂. У цьому разі рівняння електричної рівноваги первинної обмотки

&і = А і + ]®к А+усом і₂ = г_хг_х + /шм і₂₎

де 2_Х ~ г_х +Усоі, — повний опір первинної обмотки.

Отже, напруга, прикладена від джерела живлення до первинної обмот­ки, розподіляється так:

• /,г, - активна складова падіння напруги живлення на первинній об­мотці, яка збігається за напрямком зі струмом І_х;

• І_х ~- реактивна індуктивна складова напруги живлення на пер­винній обмотці, яка випереджає за напрямком струм І, на чверть пе­ріоду в часі, або на 90°;

• (&М І₂ — електрорушійна сила взаємоіндукції, що наведена на пер­винній обмотці потокозчепленням вторинної обмотки і випереджає за напрямком струм І₂ на чверть періоду в часі, або на 90° Стосовно вторинної обмотки можна зазначити, що напруга до неї не

підводиться (и₂ = 0), а тому рівняння її електричної рівноваги

де І₂ - г₂ + г + ]т1₂ - повний опір вторинної обмотки трансформатора з урахуванням опору навантаження.

Отже, електрорушійна сила взаємоіндукції, наведена у вторинній об­мотці потокозчепленням первинної обмотки, відстає від струму первин­ної обмотки І_х на чверть періоду в часі, або на 90°, і розподіляється так:

• /\(г₂+г) — активна складова падіння напруги живлення на вторинній обмотці й навантаженні, яка збігається за напрямком зі струмом /₂;

• со^/₂ — реактивна індукттів^ ; складова напруги живлення на вто­ринній обмотці, яка випереджає за напрямком струм 1₂ на чверть пе­ріоду в часі, або на 90°;

• і\ — електрорушійна сила взаємоіндукції, що наведена на вторин­ній обмотці потокозчепленням первинної обмотки і відстає від стру­му /, на чверть періоду в часі, або на 90° (рис. 6.39, б).

Аналіз отриманих рівнянь щодо балансу напруг на обмотках трансфор­матора дає змогу визначити комплекси струмів у них з урахуванням взає­моіндукції. Так, з рівняння для вторинної обмотки визначимо струм

і

2,

Підставляючи його вираз у рівняння первинної обмотки, отримаємо

2

2,

^{, (аМ)2І{}

2_Л л­

2 )

звідки струм у первинній обмотці повітряного трансформатора

г/,

2,

_{г2 у}

Підставляючи вираз первинного струму у вираз вторинного струму, отримаємо

*

2₁2₁+®^ім²

6.19. КОТУШКИ ІНДУКТИВНОСТІ З МАГНІТНИМ ЗВ'ЯЗКОМ

Прийнято розглядати узгоджене та зустрічне з'єднання котушок індук­тивності з магнітним зв'язком.

Розглянемо приклад паралельного ввімкнення й узгодженого з'єднан­ня котушок індуктивності з однаковим напрямком дії в них електрорушій­них сил само- і взаємоіндукції (рис. 6.41, а).

Щоб визначити стру­ми у гілках паралельних котушок з магнітним зв'язком, складемо си­стему рівнянь на підставі правил Кірхгофа:

Розв'язуючи систему рівнянь сумісно, отримаємо струми в гілках з узго­дженим увімкненням котушок на спільну напругу;

* *

звідки

• _и(х₂-тм) ² г_]г₂+са²м²'

Струм джерела живлення

/=/,+/₂.

Векторну діаграму струмів і напруг для паралельно ввімкнених і узго­джено з'єднаних котушок індуктивності наведено нарис. 6.41, б.

Розглянемо приклад паралельного і зустрічного з'єднання котушок індуктивності з протилежним напрямком дії в них електрорушійних сил само- і взаємоіндукції (рис. 6.42, а).

Щоб визначити струми у гілках паралельних котушок з магнітним зв'яз­ком, складемо систему рівнянь на підставі правил Кірхгофа:

/-/,-/2=0;

Розв'язуючи систему рівнянь сумісно, отримаємо струми у гілках з уз­годженим увімкненням котушок на спільну напругу:

/У+усоЛ//, %г

звідки

• _г/(^₂+усоМ)_>

Струм джерела живлення

/ = /_{1 +} /₂.

Векторну діаграму струмів і напруг для паралельно ввімкнених і зу­стрічно з'єднаних котушок індуктивності наведено на рис. 6.42, б.

Розглянемо приклад послідовного й узгодженого з'єднання котушок індуктивності з однаковим напрямком дії в них електрорушійних сил само-і взаємоіндукції (рис. 6.43, а).

Щоб визначити струм джерела при послідовному з'єднанні котушок з узгодженим магнітним зв'язком, складемо рівняння на підставі другого правила Кірхгофа;

и = 7(г| +г₂) + /(усоі₁ + ]<йЬ₂) + 2](яМ І,

звідки струм джерела напруги

г_{+г₂+ усо( Ьу + Ь\ + 2М)'

Векторну діаграму струму і напруг для послідовно ввімкне­них і узгоджено з'єднаних ко­тушок індуктивності наведено на рис. 6.43, б.

Розглянемо приклад послі­довного і зустрічного з'єднан-

а

ня котушок індуктивності з протилежним напрямком дії в них електрорушійних сил само-і взаємоіндукції (рис. 6.44, а).

Щоб визначити струм дже­рела при послідовному з'єд­нанні котушок із зустрічним магнітним зв'язком, складемо рівняння на підставі другого правила Кірхгофа:

звідки струм джерела напруги

/= і .

Векторну діаграму струму і напруг для послідовно ввімкнених і зустріч­но з'єднаних котушок індуктивності наведено на рис. 6.44, б. Як видно з векторної діаграми, послідовне ввімкнення зустрічно з'єднаних котушок індуктивності може призвести до явища, коли в індуктивному колі струм випереджатиме прикладену напругу, тобто отримаємо ємнісний ефект.

6.20. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ З МАГНІТНИМ ЗВ'ЯЗКОМ

Іноді під час розрахунку електричних кіл з магнітними зв'язками ви­никає потреба уникнути цих зв'язків. Суть методу, який застосовують у цьому разі, зводиться до того, що початкову схему з магнітними зв'язка­ми котушок індуктивності введенням додаткових індуктивностей зі зміненням значень існуючих перетворюють так, щоб магнітного зв'язку між усіма індуктивностями в перетвореній схемі не було. Оскільки пере­творення здійснюють на підставі складених за правилами Кірхгофа рівнянь для початкової схеми, то отримана нова схема без магнітних зв'язків і по­чаткова розрахункова повністю еквівалентні.

Початкову електричну схему з магнітним зв'язком котушок індуктив­ності И та ЬЗ наведено на рис. 6.45. Для довільно обраних напрямків струмів у гілках кола і обходу контурів за часовою стрілкою рівняння елек­тричної рівноваги його

• ■ *

2 )

+ /₃ у'соМ = и_х

м

гг

'/і L₂ = -m) /з|

т/,

С2

/"2

L3

h

}/2 £/зф

_ї

_Ф

Рис. 6.45

Рис. 6.46

На основі цих рівнянь замінимо струми в них, а саме у другому рівнянні • • • • • •

/₃ на /

1

1

/_г-/₂, у третьому рівнянні /} на І_{ = !₂+1^-Заміну струмів здійснимо таким чином, щоб у кожному із отриманих рівнянь після заміни були лише ті струми, які течуть у гілках цього конту­ру. Тоді

(

у'соС

■ + j(ü(L\ +М)

^г2 +

ja>C₂

+ J₂ (r₃ + ycoZg + jaM) = -Ü₃.

За цими рівняннями на рис. 6.46 побудовано електричну схему без маг­нітних зв'язків.

З порівняння схем нарис. 6.45 і 6.46 видно, що індуктивність І_л заміне­но па І| + М, індуктивність І₃ — на Ь₃ + М, а в другу гілку введено від'ємну індуктивність 1^ =-М. Слід пам'ятати, що фізично здійснити від'ємну індуктивність в електричному колі з лінійними елементами неможливо.

РОЗДІЛ 7 перехідні процеси

/ в електричних колах із зосередженими параметрами

7.1. ПРИЧИНИ ВИНИКНЕННЯ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ

Фізичні процеси в електричних колах із зосередженими параметрами, які характеризуються тим, що струми і напруги окремих елементів пов­ністю визначаються за відомими параметрами цих елементів і діючими електрорушійними силами, мають назву усталених або вимушених (7_у, и_у ).

Перехідний процес — це режим роботи електричного кола під час ко­мутації, а саме змінення її режиму роботи, яке здійснюють за допомогою пристрою — вимикача. Отже, процес переходу кола із одного вимушеного режиму в другий називають перехідним.

Під час перехідних процесів струми і напруги в електричному колі мо­жуть перевищувати їхні номінальні значення, які відповідають усталено­му режиму роботи кола.

Перехідні процеси виникають під час комутації— різних вмикань, ви­микань і перемикань в електричних колах, які складаються з реактивних елементів, а саме: котушок індуктивності, конденсаторів, оскільки вони здатні накопичувати та віддавати енергію відповідно магнітного або елек­тричного поля.

Якщо у складі електричного кола немає реактивних елементів, то пе­рехідні процеси під час його комутації не виникають.

К ожному усталеному режиму відповідає певний енергетичний стан кола. Перехідні процеси пов'язані зі зміненням енергії магнітного поля котушки індуктивності \¥_м = а²/2 або енергії електричного поля кон­денсатора IV_Е = Си²/2> а таке змінення не може відбутися миттєво. Дока­зом цього є те, що потужності енергії магнітного Р_м = ^м та електрич-

ного Р)

Р_м - «з, Р_Е = оо₃ що в реальних умовах неможливо.

Незважаючи на короткочасність перехідних процесів, вони відіграють велику роль у роботі електротехнічних устаткувань, оскільки підчас пере­хідних процесів струми і напруги окремих елементів можуть бути значно більшими за струми і напруги усталених режимів. Це часто визначає кон­струкцію і вибір електротехнічного устаткування.

7.2. ЗАКОНИ КОМУТАЦІЇ

На підставі того, що енергія магнітного та електричного полів в елек­тричному колі не змінюється миттєво, прийнято два закони комутації, які відповідають принципу неперервності у часі потокозчеплення котушки індуктивності та електричного заряду конденсатора.

Отже, якщо миттєве значення падіння напруги на котушці індуктив-d^x\>

ності u_L = — ф оо, а потокозчеплення котушки ^VP = Li, то при незмінній

індуктивності котушки (L = const) струм і в гілці з котушкою індуктив­ності змінюється плавно.

Звідси перший закон комутації. В перший момент часу після комутації (г = 0) струм (потік) котушки індуктивності зберігає те значення, яке було до комутації (t = 0_), а потім (/ = 0₊) плавно змінюється, починаючи з цього значення.

Так само, якщо миттєве значення струму в гілці з конденсатором і_с =

- — ф оо, а електричний заряд, який накопичується на обкладинках кон­ят

денсатора, q = Си_с, то при незмінній ємності конденсатора (С = const) на­пруга на його обкладках и_с змінюється плавно,

Звідси другий закон комутації. В перший момент часу після комутації (У = 0) напруга (заряд) на конденсаторі зберігає те значення, яке було до комутації (/ = 0_), апотім (V = 0₊) плавно змінюється, починаючи з цього значення.

Слід мати на увазі, що всі інші величини, а саме напруга на котушці індуктивності u_L, струм у гілці з конденсатором /_с, струму гілці з актив­ним опором і_г і падіння напруги и_Ґ на ньому можуть змінюватися стриб­ком.

7.3. ПОЧАТКОВІ УМОВИ

Відповідно до законів комутації в електричних колах під час комутації прийнято враховувати так звані початкові умови. Вони стосуються стану електричного кола до комутації і поділяються на незалежні, залежні, ну­льові та ненульові.

Незалежні початкові умови (НПУ). Вони характеризують енергію, на­копичену в електричному колі до комутації. Відповідно до законів кому­тації НПУ мають вигляд рівностей:

UO-) = 'l(o);

«c(<U = «c(0)-

Нульові початкові умови. Якщо до комутації (У = 0__) струм у котушці індуктивності /_L(0_) = 0 або напруга на конденсаторі и_с(0_) = 0, то на початку комутації (У = 0) індуктивність у гілці кола рівнозначна розриву ділянки, до якої її приєднано, а ємність — короткому замиканню ділянки кола, до якої її приєднано (рис. 7.1).

Ненульові початкові умови. Якщо до комутації ( / = 0_) струм у котушці

індуктивності z'l(0_)^0 або напруга на конденсаторі £/_с(0_)^0, то на початку комутації (У = 0) індуктивність у гілці кола, до якої її приєднано, рівнозначна джерелу струму зі струмом 'l(0) ⁼ 'l(0~)> ^{а ємн}і^сть ~~дже­релу напруги з напругою п_с (0) = и_с (0_) на ділянці, до якої її приєднано (рис. 7.2).

Залежні початкові умови, а саме струми, напруги та їхні похідні будь-якого порядку щодо моменту часу / = 0, використовують під час розрахун­ку перехідних процесів у розгалуженому електричному колі разом з НПУ.

Перехідний процес аналізують, інтегруючи диференціальні рівняння, складені для розрахункового електричного кола. Повне розв'язання таких

и_с(і) м_с(0) = «с(о_)

Рис. 7.1 Рис. 7.2

рівнянь, як відомо, визначене сумою частинного інтеграла неоднорідно­го диференціального рівняння і загального інтеграла однорідного дифе­ренціального рівняння.

Частинний розв'язок відповідає і визначається для усталеного режиму, коли перехідний процес після комутації завершився (/ = со). Струми і на­пруги, отримані в результаті частинного розв'язання, мають назву уста­лених або вимушених складових (/_у, іі_у.у

Загальний розв'язок відповідає і визначається з однорідного диферен­ціального рівняння, тобто неоднорідного без правої частини, а саме дже­рел, які збуджують перехідний процес. Струми і напруги, отримані в ре­зультаті загального розв'язання, мають назву вільних складових (/_в, и_в).

Отже, повний розв'язок диференціальних рівнянь, складених для роз­рахункового електричного кола, визначиться у вигляді

'(0 = '_у(0+'_в(');

"(0 ⁼ "у(0 ГО­ловний розв'язок диференціальних рівнянь справедливий для будь-якого моменту перехідного процесу, зокрема для г = 0. Таким чином, не­залежні початкові умови щодо індуктивності й конденсатора такі:

/1(0)-/_Ьу(0) + /_Ьв(0);

и_с(0) = и_Су(0) ₊ и_Св(0),

звідки незалежні початкові умови для вільних складових

'ь_Е(0)-/і.(0)-/_Іу(0);

"св(0) = «с(0)-"су(°)-Ці рівняння означають, що початкові значення вільних складових стру­мів, напруг визначаються змінами відповідних до них усталених складо­вих під час комутації (рис. 7.3).

7.4. ПЕРЕХІДНИЙ ПРОЦЕС

В ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ З ІНДУКТИВНІСТЮ

Розглянемо схему електричного кола (рис. 7.4), яка містить джерело живлення постійного струму, вмикач Вмк /(()) та реальний реактивний індуктивний приймач Ьз власним активним опором г.

У разі ввімкнення нерозгалуженого електричного кола із зосередже­ними г—Ь-параметрами на постійну напругу V рівняння електричної рівноваги кола за другим правилом Кірхгофа має вигляд

Щоб визначити закон змінення струму протягом перехідного про­цесу після ввімкнення кола, подамо його у вигляді суми усталеної /_у (/) і вільної /„(/) складових, тобто

/(0 = і_у (0 + 'в(0-

Усталену складову струму визначимо як частинний розв'язок неодно­рідного диференціального рівняння для усталеного режиму при / =

с]і

коли ЕРС самоіндукції котушки е_ь = -І = 0, тобто з рівняння

звідки

ц = 11/г.

Вільну складову струму визначимо з однорідного диференціального рівняння, тобто неоднорідного без правої частини, а саме джерела, яке збуджує перехідний процес:

Відомо, що розв'язком однорідного диференціаль- ^;^г_ ного рівняння є експоненціальна функція

де корінь характеристичного рівняння г+Ір = 0 (пов- ний опір навантаження, прирівняний до нуля) стано- вить р = -г/ і. Рис. 7.4

Величину т = -1/р = Ь/г називають сталою часу і подають у секундах (с). З урахуванням сталої часу вільна складова струму

-і

Підставляючи складові струму у повний розв'язок неоднорідного ди­ференціального рівняння, отримаємо

Постійну інтегрування А визначимо з урахуванням першого закону комутації та початкових незалежних умов. Так, до початку комутації (/ = 0_) струму в гілці з індуктивністю не було, а тому *(0) = /(0_) = 0. Ос­кільки повний розв'язок для струму відповідає будь-якому моменту часу, то воно справедливе і для моменту /(0), тобто

0

г г

її

А = 0.

Звідси постійна інтегрування А = ~и/г\ відповідно вільна складова струму

■ <	х т і т *■ т у. -?)"" ■^■і -™_	і(0+)
	—	і

З рівняння видно, що вільний струм змінюється за експонентою, тоб­то чим менша стала часу т, тим швидше завершується перехід­ний процес у колі. Характер змі-нення у часі вільної складової струму наведено на рис. 7.5.

и_

г

1-е *

)

В ідповідно до властивості експоненціальної функції дов­жина піддотичної у будь-якій точці кривої /_в(г) завжди дорів­нює сталій часу х^Ь/г. Зага­лом зростання струму в елек­тричному колі визначають так:

_{'(0='у(0+'в(0=}

Графіки змінення у часі стру­му в колі з індуктивністю і його складових наведено нарис. 7.6.

Рис. 7.7

Рис. 7.8

Аналізуючи вільну складову струму, легко визначити, що вже через про­міжок часу Г = (3.. .5)т від початку комутації струм у колі набуває значення / = (0,95..Д99)/_у.

Що стосується напруги на котушці індуктивності, то її визначають так:

е ¹ = £/е \

тобто при / = 0 напруга и_ь = II і потім плавно спадає за асимптотою, на-ближаючисьдо нуля (рис. 7.7).

7.5. ПОТУЖНІСТЬ В ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ

З ІНДУКТИВНІСТЮ

ПІД ЧАС ПЕРЕХІДНОГО ПРОЦЕСУ

Відомо, що миттєве значення потужності в електричному колі, наве­деному на рис. 7.4,

/ V 2 І (

1-е

+ ■

1-е

V

Введемо позначення: _г9 ( ' V^і

1-е

— потужність, яка відповідає перетвореній на тепло-

V

ту електромагнітній енергії на опорі г\

и

2 Л'

V

1-е

)

потужність, пов'язана з утворенням магнітно-

го поля котушки індуктивності Ь.

Графічну ілюстрацію змінення цих потужностей відповідно до їхніх виразів наведено нарис. 7.8.

Спрощуючи рівняння потужності, отримаємо вираз потужності, яку джерело живлення віддає в електричне коло протягом перехідного проце­су, а саме

и

7.6. ВИМКНЕННЯ ЕЛЕКТРИЧНОГО КОЛА ІЗ ЗОСЕРЕДЖЕНИМИ АКТИВНИМ ТА ІНДУКТИВНИМ ЕЛЕМЕНТАМИ

Розглянемо схему електричного кола (риє. 7.9), яка містить джерело живлення постійного етруму, вимикач Вим/(0) та реальний реактивний індуктивний приймач Ез власним активним опором г.

З урахуванням першого закону комутації та не нульових початкових незалежних умов /'(0) - /(0„) - і//г струм в електричному колі спадає у часі, тобто при вимиканні кола в котушці індуктивності виникне електрору- шійна сила самоіндукції <?т . Більше того, оскільки для кола діють

аґ

пенульові НПУ, то котушка індуктивності поводить себе, як джерело стру­му, яке підтримує спадання етруму у вимкненому колі (рис. 7.10). Спа­дання струму у цьому разі супроводжується виникненням електричної дуги між контактами вимикача, завдяки якій коло залишається ввімкненим на джерело напруги живлення II.

Залежно від співвідношення падінь напруг на опорі гі та на індуктив-

поеті котушки і -- підчас перехідного процесу вимкнення кола електрич-т

на дуга між контактами вимикача згасне або буде підтримуватися завдяки джерелу напруги, яке поновлюватиме магнітне поле котушки індуктив­ності.

Вимкнення кола з котушкою індуктивністю супроводжується високим значенням ЕРС самоіндукції е^_тах, значення якої важко визначити. Тому,

щоб її зменшити, котушку індуктивності з ненульовими НПУ поперед­ньо замикають на розрядний опір г_р, внаслідок чого у виниклому контурі деякий час підтримується згаеальний струм, зумовлений дією ЕРС само-

Вим *(0)

Ні

індукції е_{ = -/^, яка наводиться в котушці її магнітним полем, що зни­кає (рис. 7.11). Електрична дуга між контактами вимикача у цьому разі майже не виникає, тому перехідний процес можна визначити так.

Диференціальне рівняння електричної рівноваги для кола котушки індуктивності, замкненої на розрядний опір (рис. 7.11), записане за дру­гим правилом Кірхгофа, має вигляд

(_{Г + Гр})/₊І^ = 0.

Розв'язком отриманого однорідного диференціального рівняння є вільна складова струму

'(0='у(0+'вМ=^/в(0⁼⁼^^{е т}''

де / (і) = 0, оскільки для усталеного режиму після закінчення перехідно­го процесу у побудованому контурі джерела живлення немає (частинний розв'язок дає /_у (г) = 0); т' = ь/(г + г_р) — стала часу спадання струму під час перехідного процесу згасання магнітного поля котушки індуктивності.

Слід пам'ятати, що однорідне диференціальне рівняння зводиться до лінійного диференціального рівняння першого порядку за допомогою таких перетворень:

ні г + / Ь

г + т

1ш' = - ^р М-ІпЛ; Після потенціювання розв'язок отримуємо у вигляді

і = Ае ¹ = Ле

т

Постійну інтегрування А визначимо з урахуванням першого закону комутації та ненульових НПУ, яким відповідає момент часу і = 0, коли струм в електричному колі дорівнював усталеному його значенню до ко­мутації, а саме і {[) = /(0_) = / (0) = £//г. Оскільки повний розв'язок одно­рідного диференціального рівняння справедливий для будь-якого моменту часу, то воно справедливе і для часу г(0), тобто

„0.

/(0) = Ле ^т'=£//г,

з відки постійна інтегрування А = и/г.

Таким чином, повний розв'я­зок щодо струму в колі з котуш­кою індуктивності, яку з нену-льовими початковими умовами замикають на розрядний опір, буде

1_

⁴ г

Графік залежності струму /(/), який спадає за експонен­тою внаслідок поступового зга­сання енергії, запасеної у магніт­ному полі котушки індуктив­ності, наведено нарис. 7.12. Так само, як і при ввімкненні ко­тушки, перехідний процес буде завершено через проміжок часу Ґ = (3. ..5)тЛ

З аналізу сталої часу згасання струму в електричному колі з розрядним опором т' =Щг + г_р) випливає, що чим більше значення розрядного опо­ру г_р, тим швидше згасає перехідний процес (рис. 7.13).

тивностТ ^{СЛІД 3абуВа}™ ^ПР° ^ТЄ' ^{щ0 ЕРС} самоіндукції котушки індук-

ґ

и

)

гх

( г

_V ^г ₁

е ^т

)

на початку комутації максимальна і пропорційна розрядному опору

Ь тах

= и

ґ г ^ 1 + -Р

V ^г)

Графік змінення в часі електрорушійної сили самоіндукції котушки індуктивності наведено на рис. 7.14. ^у

Якщо у рівнянні електрорушійної сили самоіндукції розрядний опір г_р=со, то вона не набуде нескінченного значення, як то випливає з її рівняння. Причиною цього є те, що під час її зростання виникне елек­трична дуга між контактами вимикача, на підтримання якої під час горін­ня витрачається енергія магнітного поля котушки індуктивності й ЕРС самоіндукції зменшується.

Щ о стосується енергії, яка витрачається на нагрівання елементів г + г_р -= г' під час спадання струму, то вона така:

и/=|(, ₊ г_р)/²^ = ^(г ₊ г_р)|е =

о ^г о

Ь

- _г2 \Г ^{+ г}р)₂- _г2 У^+гр) 2 2 '

тобто вся енергія, запасена у вигляді магнітного поля котушки індуктив­ності, перетворюється на теплоту в активних елементах.

7.7. УВІМКНЕННЯ ЕЛЕКТРИЧНОГО КОЛА ІЗ ЗОСЕРЕДЖЕНИМИ АКТИВНИМ ТА ІНДУКТИВНИМ ЕЛЕМЕНТАМИ НА СИНУСОЇДНУ НАПРУГУ

Розглянемо схему електричного кола (рис. 7Л5), яка містить джерело живлення синусоїдної напруги, вмикач Вмкґ(О) та реальний реактивний індуктивний приймач Ь з активним опором г.

Якщо електричне коло вмикають на синусоїдну напругу и(і) = ІІ_тх х$>т(ш +\|/), то повний струм /(/)~*у(0 ⁺ 'в(0-

Оскільки електричне коло нерозгалужене, то згідно з другим прави­лом Кірхгофа рівняння електричної рівноваги у комплексній формі має вигляд

г/_т + /со/,/_т =и_ті

звідки амплітуда струму

/ - _ _

Зсув за фазою>гіж струмом у колі та напругою, яка його зумовлює,

г

Усталену складову струму визначимо як частинний розв'язок неодно­рідного диференціального рівняння для усталеного режиму при / = оо.

Вона становить і_у (/) = ^ип(ю/ + у - ер),

З урахуванням вільної складової струму, яку визначимо із загального розв'язку однорідного диференціального рівняння, тобто неоднорідного без правої частини, повний розв'язок для струму у колі отримаємо у ви­гляді

'(О = Ч (*) +'в(0 = ^яп(а>/ + у - _Ф) + Ае^рі,

де р — корінь характеристичного рівняння, отриманого із однорідного диференціального рівняння електричного кола.

Згідно з другим правилом Кірхгофа рівняння електричної рівноваги електричного кола, записане у диференціальній формі, має вигляд неодно­рідного диференціального рівняння:

Отже, однорідне диференціальне рівняння набере вигляду

СІЇ

звідки характеристичне рівняння г + р1 = 0 має корінь р = -г/1.

З урахуванням незалежних початкових умов /(0_) = 0 та першого за­кону комутації для моменту часу /(0), тобто /(0) = /(0_) = 0, підставляючи їх у повний розв'язок для струму, отримаємо рівняння для визначення постійної інтегрування:

^г'(°) = 'у (0) + і_в (0) = -^Іп(со0 + у - <р) + = 0,

звідки

и

Z

Наприкінці перехідного процесу повний струм

'(') ^{= г}у (0 + 'в (0 = (со/ + у - ф) - -^-зіпО - ф)_Є"^

Л = --^ап(\|/-ф).

Як видно з виразу, у вільній складовій струму немає гармонічної скла­дової со/ і вона спадає за експонентою. Часові залежності повного струму і його складових під час перехідного процесу наведено на рис. 7.16 Часові

д іаграми показують, що під час перехідного процесу струм у деякі момен­ту

ти часу перевищує свою амплітуду усталеного режиму: /(?) > І_т = -~.

Швидкість завершення перехідного процесу залежить від сталої часу т = Цг. Характер перебігу перехідного процесу визначається вільною скла­довою повного струму й істотно залежить від моменту ввімкнення елек­тричного кола, тобто від початкової фази напруги живлення у. Так, якщо у = ер, то перехідний процес у колі не відбудеться, оскільки вільна складова струму /_в=0. Якщо у-ф = ±я/2, то вільна складова струму /_в =/_втах = = 1,8/_т досягає найбільшого значення, на яке і доводиться розраховува­ти електродинамічні зусилля.

7.8.АНАЛІЗ СТАЛОЇ ЧАСУ ЕЛЕКТРИЧНОГО КОЛА 13 ЗОСЕРЕДЖЕНИМИ АКТИВНИМ ТА ІНДУКТИВНИМ ЕЛЕМЕНТАМИ

Розглянемо схему електричного кола (рис. 7Л7), яка містить джерело живлення, вмикач Вмк/(0) та реальний реактивний індуктивний приймач Ь із власним активним опором г.

Згідно з другим правилом Кірхгофа рівняння електричної рівноваги електричного кола, записане у диференціальній формі, має вигляд не­однорідного диференціального рівняння

_Иі Вмк і(0)

Випадок перший. Якщо стала часу кола т = —»1,

що з більшою ймовірністю можливо при г -> 0, то складова падіння напруги гі « 0 і вся електрорушій- Рис. 7Л7

на сила джерела живлення компенсується електрорушійною силою само­індукції котушки індуктивності, тобто

сй

Звідси його розв'язок після інтегрування відносно струму

Падіння напруги, якщо його вимірювати на активному опорі,

¹о

тобто електричне коло із зосередженими активним та індуктивним еле­ментами, з'єднаними послідовно, за умови, що т = » І, можна розгля­дати як інтегрувальний ланцюг. Часові діаграми електрорушійної сили

джерела живлення е(і) та падіння напруги на активному опорі и_г(і) для цього випадку наведено на рис. 7.18.

Випадок другий. Якщо стала часу кола т = — « 1, що з більшою ймовір­ністю можливо при І -> 0, то складова падіння напруги X— « 0 і вся ЕРС

джерела живлення компенсується падінням напруги на активному опорі, тобто

ІҐ ~ е.

З

відси його розв'язок відносно струму

і = е!г.

Падіння напруги, якщо його вимірювати на котушці індуктивності,

йі _ Ь (іе Ш~ г Ж'

тобто електричне коло із зосередженими ак­тивним та індуктивним елементами, з'єдна­ними послідовно, за умови, що т = ^«1,

г

можна розглядати як диференційний ланцюг. Часові діаграми електрорушійної сили дже­рела живлення е(і) та падіння напруги на котушці індуктивності и^{і) для цього ви­падку наведено на рис. 7.19.

7.9. ПЕРЕХІДНИЙ ПРОЦЕС В ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ З КОНДЕНСАТОРОМ

Розглянемо схему електричного кола (рис. 7.20), яка містить джерело живлення постійного струму, вмикач Вмк/(0) та реальний реактивний ємнісний приймач С з власним активним опором г.

У разі ввімкнення нерозгалуженого електричного кола із зосередже­ними г— С-параметрами на постійну напругу И рівняння електричної рівноваги кола за другим правилом Кірхгофа має вигляд

_ . йа „<іи_с або, враховуючи, що д-Си_с, ⁷ ^ ^отР^имаємо

Щоб визначити закон змінення напруги и_с(ї) впродовж перехідного процесу після ввімкнення кола, подамо його у вигляді суми усталеної и_Су(г) і вільної исв(0 складових, тобто

^ис(^/) ^{= м}Су(0 ^{+ м}Св(0-

Усталену складову напруги на конденсаторі визначимо як частинний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння для усталеного ре­жиму при і = оо, коли = 0, тобто

и_Су -1/.

Вільну складову напруги на конденсаторі визначимо з однорідного диференціального рівняння, тобто неоднорідного без правої частини, а саме джерел, які збуджують перехідний процес:

^^мСв гС , +ц_г =0. аЧ ^Св

Відомо, що розв'язком однорідного диференціального рівняння є екс­поненціальна функція

"СвО^е", Вмк <(0)

д е корінь характеристичного рівняння гСр + 1 = 0 (пов­ний опір приймача, прирівняний до нуля) становить

Р—ЩгС).

Величину т = -1/р = ґС називають сталою часу і по- дають у секундах (с). З урахуванням сталої часу вільна _Рис 7 20

складова напруги на конденсаторі

Після підстановки складових напруги у повний розв'язок неоднорід­ного диференціального рівняння отримаємо

и_с(і) = и+Ай ^т.

Постійну інтегрування А визначимо з урахуванням другого закону ко­мутації та незалежних початкових умов. Так, до початку комутації (і = (0 )) струму у гілці з конденсатором не було, а тому падіння напруги на кон­денсаторі також не було (ис(0) = Ис(0_) = 0). Оскільки повний розв'язок для напруги на конденсаторі відповідає будь-якому моменту часу, то воно справедливе і для моменту ґ(0), тобто

_0

и_с(0) = и + Ае ^т =и + А = 0.

Звідси постійна інтегрування А = ~и і відповідно вільна складова на­пруги ^

_{«Св(0 = -^~Т-}

З рівняння видно, що вільна складова напруги змінюється за експо­нентою, тобто чим менша стала часу т, тим швидше завершується пере­хідний процес у колі.

г(0₊)

Характер вільної складо­вої напруги на конденсаторі наведено на рис. 7.21.

Відповідно до властивос­ті експоненціальної функції довжина піддотичної у будь-якій точці кривої и_Св(ї) зав­жди дорівнює сталій часу т = гС. Загалом зростання на­пруги на конденсаторі визна­чають так:

_{ис(0 = ису(0 + исв(0 =}

-е

)

Графіки змінення напру­ги на конденсаторі під час перехідного процесу наведе­но на рис. 7.22.

А

налізуючи вільну складову напруги, легко визначити, що вже через проміжок часу / = (З...5)т напруга на конденсаторі набуває значення і/_с=(0,95..Д99)«_Су.

Що стосується струму, який тече у гілці з конденсатором, то його виз­начають так:

	{ ІЛ
и	1-е *
	V )

тобто, при / = 0 струм і_с = СЇ/г і потім плавно спадає за асимптотою, на­ближаючись до нуля (рис. 7.23).

7.10. ПОТУЖНІСТЬ В ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ З КОНДЕНСАТОРОМ ПІД ЧАС ПЕРЕХІДНОГО ПРОЦЕСУ

Відомо, що миттєве значення потужності в електричному колі (див. рис. 7.20) можна подати у вигляді виразу

2г __т9 і( і\

1-е

1 гг2 — — ГГІ

р = иі = (гі + и_с)і = і г + и_сі =—е ¹ +—е ¹

V

)

Введемо позначення:

- потужність, яка відповідає електромагнітній енергії,

а _г

,2 М ^

1-е

перетвореній на теплоту на опорі г; V

потужність, пов язана з утворенням електрич-

V

ного поля між обкладками конденсатора С.

Графічну ілюстрацію змінення цих потужностей відповідно до їхніх виразів наведено на рис. 7.24.

і

Спрощуючи рівняння потужності, отримаємо вираз потужності, яку джерело живлення віддає в електричне коло протягом перехідного проце­су, а саме

и² --

7.11. УВІМКНЕННЯ ЗАРЯДЖЕНОГО КОНДЕНСАТОРА НА ЕЛЕМЕНТ З РОЗРЯДНИМ ОПОРОМ

Розглянемо схему електричного кола (рис. 7.25), яка містить комуту-вальний пристрій Вмкґ(О), що вмикає реальний реактивний ємнісний приймач С з ненульовими незалежними початковими умовами и_с (0) = С/₀ на елемент з активним опором г.

Згідно з другим правилом Кірхгофа рівняння електричної рівноваги н ер оз гал уже ного контуру кола має вигляд

и_г+и_с^ гі + = 0.

pa, становить q = Cu_c, тобто dq = Cdu_c, атому і=.^ = С^~, отримаємо

З урахуванням того, що заряд, накопичений на обкладках конденсато-

^da _=c^duc dt dt

гС -^с-+и_г-0. Ні ^с

Характеристичне рівняння, яке відповідає однорідному диференціаль­ному рівнянню кола гСр + 1^0, має корінь р = ~і/(гС). Відповідно до ньо­го стала часу т ~ гС.

Повний розв'язок однорідного диференціального рівняння кола визна­чають як суму частинного розв'язку, що відповідає і визначається для уста­леного режиму, коли перехідний процес після комутації завершився — кон­денсатор розрядився повністю, і загального розв'язку, що відповідає та визначається з однорідного диференціального рівняння. Тобто напруга на конденсаторі змінюється за законом

_{мс(') = «Су(0 + "Св(0-}

¹—і і—і моменту часу і = оо після завершення перехідно-

^ _[+ і го процесу. Тому повний розв'язок складатиметь-

Вмк^ tip) _г Частинний розв'язок w_Cy(r) = 0 відповідає

j+ і ^іи нрицсиу. іиму пивний ризь язикскладатиметь-

^с ~р } ся лише з вільної складової напруги на конден-

^{i(t) j"c(0) = £/0 саторі. t}

Рис. 7.25 М^Г) = "Св(0 = Ле^Ле ¹

Згідно з другим законом ко­мутації та ненульовим НПУ и_с(0) = и_с(0_) = и₀ рівняння ис(0) = £/о

повного розв'язку, записане для часу г = 0, буде таким:

и_с(0) = и_Св(0) = АеГ° = А = Щ.

Звідси постійна інтегруван­ня А = и₀, і напруга на конден­саторі під час розрядження на активний опір буде такою:

«_с(?) = £/₀е -=£/₀е Струм у гілці конденсатора

г С

и,

Г —

V

Ще

гС

)

°е '^с

Графіки часових функцій змінення напруги на конденсаторі під час його розрядження на активний опір і змінення струму у гілці з конденса­тором наведено на рис. 7.26.

Енергія, яка витрачається на нагрівання елемента г під час розряджен­ня конденсатора,

00

тт2 00 _ІІ ТІ'

о

си.

о ^г о

г і г 2

тобто вся енергія, запасена у вигляді електричного поля між обкладками конденсатора, перетворюється на теплоту на елементі з активним опором.

7.12. УВІМКНЕННЯ ЕЛЕКТРИЧНОГО КОЛА ІЗ ЗОСЕРЕДЖЕНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ З АКТИВНИМ І ЄМНІСНИМ ОПОРАМИ НА СИНУСОЇДНУ НАПРУГУ

Розглянемо схему електричного кола (рис. 7.27), яка містить джерело живлення синусоїдної напруги, вмикач Вмкґ(О) та конденсатор С з єм­ністю С, ввімкнений послідовно з активним елементом г.

Якщо електричне коло вмикають на синусоїдну напругу и(ґ) = £У_тх х8іп(ш/' + \|/), то повна напруга на конденсаторі

_{ис(О = нСу(0 + иСв(О-}

■

Оскільки електричне коло нерозгалужене, то _Цс ф згідно з другим правилом Кірхгофа рівняння елек­тричної рівноваги у комплексній формі має вигляд

ЗВІДКИ

1а •

^т УсоС ^{т т}'

/ =

т

т

1

и.

т

V

е^/г² +

_н)

т

и

ге^^(р

Зсув за фазою між струмом у колі та напругою, яка його зумовлює, ста­новить

г

Усталену складову струму визначимо як частинний розв'язок неодно­рідного диференціального рівняння для усталеного режиму при г = оо.

В

V

она становить /_у(/)^: конденсаторі

ПІ

z

біп(©/ + у - ф), а усталена складова напруги на

00

Су ґ-<гу* ^и 0

^со₃(со, ₊ у-ф)

„ ^ біп (соґ + vi/

ZcoC \

-<р-|)

З урахуванням вільної складової напруги, яку визначають із загально­го розв'язку однорідного диференціального рівняння, тобто неоднорід­ного без правої частини, повний розв'язок для напруги на конденсаторі набере вигляду

_{"с(0 = мСу(0 + "Св(0}

де р — корінь характеристичного рівняння, отриманого з однорідного ди­ференціального рівняння електричного кола.

Згідно з другим правилом Кірхгофа рівняння електричної рівноваги електричного кола, записане у диференціальній формі, має вигляд не­однорідного диференціального рівняння:

гС-^ + и_с = и_т&т(ш + у).

Отже, однорідне диференціальне рівняння набере вигляду

^ сіи_г

1

звідки характеристичне рівняння гСр+ 1 = 0 має корінь р = - і сталу часу т = гС, виражену в секундах. ^ґ^

Ураховуючи НПУ и_с (0_) = 0 та другий закон комутації для моменту часу /(0), тобто //_с(0) = «_с(0„) = 0, і підставляючи їх у повний розв'язок для напруги конденсатора, отримаємо рівняння для визначення постійної інтегрування:

звідки

u.

Остаточно повна напруга на конденсаторі під час перехідного процесу змінюється за законом

_{мс(0 = МСу(0 + мСв(0}

^{Uvn ;Sin^/ + M/-9-|y^rSin^l/-(p-|^ ГС}

ZodC

Струм у гілці з конденсатором визначають так:

_;._{(0 =} С^ = ^_5Іп_{И +} „-_Ф)₊і₅і„(_¥-_Ф-|)"^.

Як випливає з виразів, у вільних складових напруги та струму немає гармонічної складової сиг і вони спадають за експонентою. Часові залеж­ності повної напруги, її складових під час перехідного процесу та струму наведено на рис. 7.28 і 7.29. Як видно з часових діаграм, перехідне значен­ня напруги у деякі моменту часу перевищує амплітуду усталеної на-

пруги

■ > ^m

, а перехідне значення струму — його амплітуду

u ^л

^т г J

З повних виразів напруги на конденсаторі й струму в його гілці видно, що на їхні усталені гармонічні складові накладаються вільні складові

г

які з НПУ

зберігаючи знак, зменшуються до нуля за експоненційним законом.

Швидкість завершення перехідного процесу залежить також від сталої часу т = Ljr. Характер перебігу перехідного процесу визначається вільни­ми складовими повної напруги, струму й істотно залежить від моменту ввімкнення електричного кола, тобто від початкової фази напруги жив­лення у. Так, якщо \|/ = ф+ |, то перехідний процес у колі не відбудеться, оскільки вільна складова напруги и_Св(0) = 0. Якщо і|/ = ф або \[/ = ф + тг, то вільна складова напруги становить г/_Св=и_{Св ах}=+ ^^m-, а струму Ш

і_ь = /_втах = ?^т_г> і через проміжок часу г~ТУ2 їх повні значення досяг-

^ Сил ^

нуть максимуму, що перевищує амплітудні значення майже у два рази.

З графіка повного струму (рис. 7.29) видно, що в разі ввімкнення ка­бельної мережі живлення на холостий хід внаслідок значної ємності жил кабелю та незначного активного опору їх будуть значні поштовхи струму в генераторі, який живить мережу.

7.13. АНАЛІЗ СТАЛОЇ ЧАСУ

ЕЛЕКТРИЧНОГО КОЛА ІЗ ЗОСЕРЕДЖЕНИМИ

АКТИВНИМ І ЄМНІСНИМ ЕЛЕМЕНТАМИ

Розглянемо схему електричного кола (рис. 7.30), яка містить джерело живлення, вмикач Вмкг(0) та реальний реактивний ємнісний приймач С з активним опором г.

Згідно з другим правилом Кірхгофа рівняння електричної рівноваги електричного кола, записане у диференціальній формі, має вигляд не­однорідного диференціального рівняння

і

п +

^С0

Випадок перший. Якщо стала часу кола х = гС»\, що з більшою ймо­вірністю можливо при С -> оо, то складова падіння напруги на конденса­торі -;|к#я:0 і вся ЕРС джерела живлення компенсується падінням на­пруги на активному опорі, тобто

гі = е.

Звідси його розв'язок відносно струму

і-е/г.

Падіння напруги, якщо його вимірювати на ємнісному опорі,

тобто електричне коло із зосередженими активним і ємнісним елемента­ми, з'єднаними послідовно, за умови, що т = гС»1, можна розглядати як інтегрувальний ланцюг. Часові діаграми електрорушійної сили джере­ла живлення е{і) та падіння напруги на ємнісному опорі и_с(г) для цього випадку наведено на рис. 7.31.

Випадок другий. Якщо стала часу кола т = гС « 1, що з більшою ймо­вірністю можливо при С—»0, то струм у гілці кола з конденсатором

' ~^С~І^*^{0І падіння} напруги на активному опорі гі = 0. У цьому разі вся еТеметГтобто™™™ ^{К0МПЄНСУЕТЬСЯ п}^^нн™ "Упруги на ємнісному

£ \iclt = <?, або ^{)

е

ковдеї^ ^Г""^{8 ПаДІННЯ НаПРУГИ}' ^ЯКЩ° ^ЙОГ° ^Мм*^юва™ -

тобто електричне коло із зосередженими активним і ємнісним елемента-

1^И;игЬРп^{аНИМИ ПО(}?«^овн^за умови, що т = гС«1, можна розглядати як диференціальний ланцюг. ***д*і*і

Часові діаграми електрорушійної сили джерела живлення є(А тападін-ня напруги на конденсаторі и_с {і) для цього випадку наведено нарис. 7.32.

7.14. ПЕРЕХІДНИЙ ПРОЦЕС

У НЕРОЗГАЛУЖЕНОМУ ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ

З ДВОМА РЕАКТИВНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ

Розглянемо схему електричного кола (рис. 7.33), яка містить лжеоело живлення постійного струму V, вмикач Вмк/(0), ^активнП^и^а^Г-™^о^^ВН°^С1І ^ ^К°^{НДЄНСато}Р ^С -иУю Ста елемеГз^ив-^[гТ^{ННЯ не}Р^озгалУ^же™™ електричного кола із зосередже-^надаг^

рівноваги кола за другим правилом Кірхгофа має вигляд

ш С

З урахуванням того, що заряд, накопичений на Вмк і{0) обкладках конденсатора, ц - Си_с, тобто сіц ~ СсІи_с, ^ ^г

тому і = -^-С~~, отримаємо неоднорідне ди-аг ш

ференціальне рівняння, записане відносно падіння напруги на конденсаторі и_с(і) у вигляді виразу

сіі _Ш2 ^с

Щоб визначити закон змінення струму /(/) протягом перехідного про­цесу після ввімкнення кола, слід продиференціювати рівняння електрич­ної рівноваги

& ' с­і отримаємо

А #2 с

або

^'₊^Г£//+ '"-=0. _Лі Ьсії ЬС

Для прикладу розв'яжемо перше чи друге рівняння кола відносно стру­му, падінь напруги на індуктивності та ємності й подамо їх у вигляді суми усталеної і вільної складових, тобто

^(О^уМ + МСвМ-

Усталені складові визначимо як частинний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння для усталеного режиму при / = да:

іу (0 = 0;

Характеристичне рівняння кола щодо визначення сталої часу, вільних складових величин струму і напруг таке:

Розв'язуючи квадратне рівняння, знаходимо його корені:

_{г \ г2 1 П 7}

^{Р}"~11 v ,/ : /Г ' V'" -"0'}

де р = - г/2£; со₀ = і/л/ЇС — кутова частота незгасальних коливань стру­му та напруг.

Якщо дискримінант у коренях ^²-со^>0, що можливо за умови, коли опір г > 2у/ь/С, то корені р_ь р₂ — дійсні відмінні одне від одного числа. У цьому разі вільні складові, наприклад струму, також визначають з одно­рідного диференціального рівняння, але вже другого порядку, і вони скла­даються з двох експонент:

_ Величини т, = -1/ _Рі та т₂ = -і/р₂ — сталі часу відповідно першої і дру­гої вільних складових розрахункової величини.

Підставляючи складові струму в повний розв'язок неоднорідного ди­ференціального рівняння, отримаємо

Постійні інтегрування А_{ та А₂ визначимо з урахуванням першого за­кону комутації та ПНУ. Так, до початку комутації (/ = 0_) струму в гілці з індуктивністю не було, а тому /(0) = /(0_) = 0. Оскільки повний розв'язок для струму відповідає будь-якому моменту часу, то воно справедливе і для моменту /(0), тобто

і(0) = 0 + Л₁^\А₂е^рі° = А₁₊Л₂^0.

Звідси постійна інтегрування А_х ~-А₂ і відповідно струм у колі змі­нюється за законом

/(0 = /_у(/)4-/_в(ґ) = 4(е^-є^)

Оскільки \ру\<_;р₂-, то вільна складова струму з експонентою е^ зга­сає швидше, ніж вільна складова струму з експонентою е^ (рис. 7.34).

Якщо ємність конденсатора значно зростає, а його реактивний опір х_с = 1/(юС) відповідно зменшується відносно реактивного опору котуш­ки індуктивності, то крива повного струму в колі /(/) за своїм виглядом наближається до кривої, яка б була у колі при активно-індуктивному на­вантаженні (рис. 7.35).

Якщо індуктивність котушки істотно зменшується і відповідно змен­шується її реактивний опір х_ь - со/, відносно реактивного опору конден-

122

с

_кі.і(0=Аіе^й'

і(і)=А₁е^р^А₂е^Ріі

атора, то крива повного стру­му в колі і {і) за своїм виглядом наближається до кривої, яка б була у колі при активно-ємніс­ному навантаженні (рис. 7.35).

Визначивши закон змінен-ня струму в колі навантажен­ня, можна визначити й інші величини. Так, напруга на котушці індуктив­ності

Ч. (') = = "ьу (')+«ь* (') = 0 + - )

Напруга на конденсаторі

сіі

₍₀

^и-Ы^-р^УгА^

В отриманому виразі враховано властивості коренів квадратного рівняння, а саме корінь р = -г/(2і), тобто г = -р ■ 21. Отже, з одного боку, г = ~р_{-21, з другого - г = -Р2 2Ь. Складаючи обидва вирази, отримаємо

Постійну інтегрування А_х визначимо з урахуванням НПУ та другого закону комутації, тобто для незарядженого конденсатора на початку ко­мутації и_с(0) = «_с(0_) = 0. Оскільки отриманий вираз напруги на кон­денсаторі відповідає будь-якому моменту часу, то для моменту * = 0 він буде таким:

_{Мс(0) = #-М<>1-^2) = 0-}

Звідси постійна інтегрування

_А-

З урахуванням того, що у нашо­му прикладі 4 =-у42, остаточні ви­рази струму і падінь напруг у схемі електричного кола такі:

и

^{Ис(')=%-^е'-^')}

Часові діаграми отриманих функцій наведено на рис. 7.36.

Перехідний процес зарядження конденсатора, при якому струм /(/) і напруга и_с(і) весь час зберігають незмінним напрямок, називають аперіо­дичним. Він відбувається за умови, що активний опір г > 2^ЦС.

7.15. ХАРАКТЕР ПЕРЕХІДНОГО ПРОЦЕСУ В АКТИВНО-ІНДУКТИВНО-ЄМНІСНОМУ ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ З ОДНАКОВИМИ КОРЕНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧНОГО РІВНЯННЯ (КРИТИЧНИЙ ВИПАДОК)

Для схеми електричного кола, наведеній на рис. 7.33, розглянемо ви­падок, коли корені його характеристичного рівняння

^р1+Т^р+Іс⁼⁰

— однакові за значенням кратні числа, тобто р_х=р₂= р, що можливо,

якщо активний опір г = 2^І/С. У цьому разі миттєвий струм змінюється і визначається за рівнянням

Постійні інтегрування А₃, А₄ визначимо з урахуванням нульових НПУ та першого закону комутації, тобто як до початку комутації, так і в мо­мент її /(0) = /'(0_) - 0. Оскільки отриманий вираз струму в колі відповідає будь-якому моменту часу, то для моменту / = 0 він буде

/(0) = (Л₃ + Л₄-0)е^°-0. Звідси постійна інтегрування

Повні розв'язки щодо струму і напруг на реактивних елементах:

и_с(і_У --^-г/(/) =

- и - ІА_А (1 + рї) е'' + 21рА4^ ^и-ІА₄(\- рі) .

У виразі напруги на конденсаторі враховано властивості коренів ква­дратного рівняння, а саме р = -г/(2Ь), тобто г^-р-21.

Постійну інтегрування А₄ визначимо з урахуванням незалежних по­чаткових умов та другого закону комутації, тобто для незарядженого кон­денсатора на початку комутації «_с(0) = г/_с(0_) = 0. Оскільки отриманий вираз напруги на конденсаторі відповідає будь-якому моменту часу, то для моменту і = 0 він буде

и_с(0) = и -ЬА_А(І- р-0)с^р0 = и -1^ = 0-

Звідси постійна інтегрування

Остаточні вирази струму і падінь напруг у схемі електричного кола:

щ(^ = и(\+р1)е^р!;

и_с(і) = и-и(1~рф^р'. Часові діаграми отриманих функцій відповідають наведеним на рис. 7.36.

7.16. ХАРАКТЕР ПЕРЕХІДНОГО ПРОЦЕСУ В АКТИВНО-ІНДУКТИВНО-ЄМНІСНОМУ ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ

З КОМПЛЕКСНО-СПРЯЖЕНИМИ КОРЕНЯМИ ХАРАКТЕРИСТИЧНОГО РІВНЯННЯ

Для схеми електричного кола, наведеній на рис. 7.33, розглянемо ви­падок, коли корені його характеристичного рівняння

'0 -~Р + ^>

Р+^Р² -£0²

комплексно-спряжені, тобто

Р\

^{Р2=-Р~^1р2-<4 -~Р~УЮВ,}

що можливо, якщо активний опір г<2^Цс, а дискримінант має від'ємне значення.

У кутовій частоті со_в =л/^то ~ Р² величина ш₀ = і/72ус відповідає ра­діусу кола, на дузі якого лежать комплексно-спряжені корені (рис. 7.37).

Величину со_в називають кутовою частотою вільних або власних коливань енергії магнітного й електричного полів між індуктивністю і ємністю кон­туру, які згасають у його активному опорі. Період власних коливань енергії Т_в = 2тг/со_в. У цьому разі миттєвий струм, який є розв'язком однорідного диференціального рівняння з комплексно-спряженими коренями, змі­нюється і визначається за рівнянням

/(/) - /_у (?) + /_в (і) = (А₅ мпоу + А₆ соБоу)^',

де р = -г/(2Ь).

Постійні інтегрування А₅, А₆ визначимо з урахуванням нульових НПУ та першого закону комутації, тобто як до початку комутації, так і в мо­мент її /(0) = /'(0_) = 0. Оскільки отриманий вираз струму в колі відповідає будь-якому моменту часу, то для моменту х = 0 він буде

/(0) = (0+^)е^р0=0.

Звідси постійна інтегрування А₆=0. Повні розв'язки щодо струму і на­пруг на реактивних опорах:

ї (г) = 48Іп(со_вг)е^;

и_с{і) = и-1^-гі{і) =

= 11 - ІА₅ ( 0.)_в с08со_вґ + р&П(й^)ї^рІ +

+ 21рА₅ 8іп(со_вг)е^/г^ = = и- ЬА^ (с0_в со5с0_вг -/>5Іпсо_в/)е^/".

-^/Юв У виразі напруги на конденсаторі враховано вла--/юо стивості коренів квадратного рівняння, а саме р = -г/(21), тобто г = -р-2Ь. Отримані вирази є знакозмінними функціями часу зі спадною амплі-

т удою, що означає наявність у колі періодичного або коливального про­цесу, який відповідає зарядженню конденсатора вздовж обвідних Л₅е^р*.

Постійну інтегрування Л₅ визначимо з урахуванням незалежних по­чаткових умов та другого закону комутації, тобто для незарядженого кон­денсатора на початку комутації «_с(0) = г/_с(0^) = 0. Оскільки отриманий вираз напруги на конденсаторі відповідає будь-якому моменту часу, то для моменту г = 0 він буде

и_с (0) = и- ІА₅ (й)_в • 1 - р• 0)е^° = С/ - /,Л₅£о_в = 0.

Звідси постійна інтегрування

_{4 = £Г/0»,£).}

Остаточні вирази струму і падінь напруги у схемі електричного кола:

^и -8іп(т_в/)е^/*;

£О_вл

(

с05ю„г+ ¹ яп 0)_в/

(

с05со_в/

со,

-5іпсо_вґ

Як видно на комплексній площині (рис. 7.37), для коренів р_х та р₂

со,

в « зіпВ с08ш_пґ справедливі співвідношення ' = - _:= — ^ ³ урахуванням яких

С05Р 8іпсо_вґ

отримаємо вирази напруг на реактивних приймачах електричного кола:

'в СО

"ь(0 ^{= £/}^° со₃(со_в/-Р)е^;

со_в

и_с(/) = и-и "^и со8(ш_вґ + Р)е^

Часові діаграми отриманих функцій відповідають наведеним нарис. 7.38.

Із часових діаграм видно, що миттєві значення напруг і струму під час перехідного процесу досягають максимальних значень, а саме: «і__лтіах ~ сУ,

7.17. КОРОТКЕ ЗАМИКАННЯ В АКТИВНО-ІНДУКТИВНО-ЄМНІСНОМУ ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ З НЕНУЛЬОВИМИ НЕЗАЛЕЖНИМИ ПОЧАТКОВИМИ УМОВАМИ НА КОНДЕНСАТОРІ

Розглянемо схему електричного кола (рис. 7.39), яка містить вмикач Вмкг(О), реактивний ємнісний приймач С з ненульовими НПУ г/_с(0_) = = и₀, котушку індуктивності Е та активний елемент з опором г.

Згідно з другим правилом Кірхгофа однорідне диференціальне рівнян­ня електричної рівноваги кола має вигляд

__г сІІ ^

Якщо для кола виконується умова г > 2-7 £/С, яка відповідає двом не­однаковим кореням характеристичного рівняння, то закони змінення струму в колі та напруг на реактивних елементах становлять:

Постійну інтегрування А_х визначимо з урахуванням ненульових НПУ та другого закону комутації, який відповідає моменту часу / = 0, коли на­пруга на конденсаторі дорівнювала усталеному її значенню до комутації, а саме и_Су (/) = и_с (0_) = «с (0) = и (у Оскільки повний розв'язок однорідно­го диференціального рівняння справедливий для будь-якого моменту часу, то воно справедливе і для моменту часу /(0), тобто

«С (0) = - ЬА_{ (р, ⁰ - /ье* ⁰ )= -Щ (_Р[ - р.) = Щ,

з відки постійна інтегрування

А

о

-и

Ь{р_х-р₂)

Таким чином, повні розв'язки щодо струму і напруг в активно-індук-тивно-ємнісному електричному колі з ненульовими НПУ на конденса­торі будуть такими:

З часових діаграм цих величин (рис 7.40) видно, що функції /(г) та и_с (і) не змінюють під час перехідного процесу свого знака, тобто процес розрядження конденсатора має аперіодичний характер.

Якщо для кола виконується умова г = яка відповідає двом од-

наковим кореням характеристичного рівняння, то закони змінення стру­му в колі та напруг на реактивних елементах становитимуть:

^{<(0 = - 7 ге":}

^(/) = -с7₀(1 + /)ґ)е^;

и_с{і) = и,(\-ргу^{.

Характер змінення цих величин аналогічний наведеним нарис. 7.40, а функції /'(/) та и_с(і) також не змінюють під час перехідного процесу

129

свого знака, тобто процес розрядження конденсатора має аперіодичний

характер.

Якщо для кола виконується умова г < 2-71/С, яка відповідає двом комп­лексно-спряженим кореням характеристичного рівняння, то процес роз­рядження конденсатора стає коливальним, а закони змінення струму в колі та напруг на реактивних елементах будуть такими:

/(/) = --^гіпК0«";

и_ь(/)==-і/₀^05(а)_в/~р)е'";

«в

З часових діаграм цих величин (рис. 7.41) видно, що функції та и_с (г) змінюють під час перехідного процесу свої знаки, тобто процес роз­рядження конденсатора дійсно має коливальний характер.

Швидкість згасання коливань енергії конденсатора під час його роз­рядження оцінюють за відношенням двох амплітуд одного знака, яке на­зивають декрементом згасання коливань:

Отже, чим більше модуль кореня характеристичного рівняння р = -г/(2Ь), тим швидше згасають коливання струму у колі. Іноді замість декременту згасання коливань використовують логарифмічний декремент згасання ко­ливань

Л - ІпД ~-рТ.

7.18. КЛАСИЧНИЙ СПОСІБ РОЗРАХУНКУ

ПЕРЕХІДНОГО ПРОЦЕСУ

В РОЗГАЛУЖЕНОМУ ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ

Цей спосіб розглянемо на прикладі схеми, наведеної нарис. 7.42.

З топологічного аналізу схеми випливає, що вона має три гілки, два вузли та два незалежних контури. Тому відповідно до довільно вибраних напрямків струмів у гілках та напрямків обходу незалежних контурів за правилами Кірхгофа складають систему незалежних диференціальних рівнянь для миттєвих значень напруг контурів і струмів вузлів. Складену систему розв'язують відносно одного із невідомих струмів або напруги на ємності. У результаті розв'язання отримують лінійне неоднорідне дифе­ренціальне рівняння з постійними коефіцієнтами, порядок якого дорів­нює сумі реактивних необ'єднаних елементів. Розв'язок цього рівняння визначають як суму усталеної та вільної складових відповідної електрич­ної величини, причому у виразі вільної складової завжди є постійні інтег­рування, кількість яких дорівнює порядку диференціального рівняння. Визначають постійні інтегрування з урахуванням законів комутації та НПУ або додаткових залежних умов. Закони змінення вільних складових зале­жать від параметрів початкової схеми кола. Так, якщо коло містить тільки реактивні індуктивні елементи або лише ємнісні з активним опором, то вільні складові струму згасатимуть за показниковим законом. Якщо в елек­тричному колі одночасно є індуктивності та ємності, то не виключена можливість обміну енергією між ними, атому перехідний процес буде зга-сальним коливальним.

Розрахунок перехідного процесу починають з визначення незалежних початкових умов для струмів та напруг в електричному колі до комутації, тобто при г = 0_. Враховуючи, що для джерела живлення постійного стру­му, частота якого / = 0, опір котушки індуктивності в усталеному режимі роботи кола (до комутації) х_ь =2тг/Х = 0, на схемі електричного кола це еквівалентне короткозамкненій ділянці. Відповідно конденсатор має опір х_с = іД27і/С) = оо, і це на схемі електричного кола еквівалентне розриву ділянки гілки. З урахуванням попереднього схему електричного кола до комутації наведено нарис. 7.43.

Застосовуючи до схеми закон Ома для електричного кола, визначимо загальний струм джерела:

Струм у гілці з конденсатором вна­слідок її розриву

Відповідно падіння напруг на еле­ментах за законом Ома для ділянки

т

^гч Вмк і (О.)

Обхід *

^ Вмк?(0+)

1^(0+)" Ьс_у(°4-)

ис_у(0+)

і_у(0₊)

Рис. 7.43

Рис. 7.44

кола будуть такими:

и

с7,

Л0_) = /(0_)/2 =

2 .

1^+/2

С/л

Л + /о

иЛ0_)==/(0_)/1=—V;

"с(0-)=ІРс(0-)^ = о;

^ о

^{«ь(0-)-^5*(0-) = 0-}

На наступному етапі визначають усталені значення сил струмів і на­пруг в електричному колі, тобто їхні значення після завершення перехідно­го процесу для часу ґ(0_{ ). В усталеному режимі за наявності джерела жив­лення постійного струму х_ь=2п/Ь = 0, х_с = \/(2п/С) = ао. Тому схема електричного кола матиме вигляд, як на рис. 7.44.

Застосовуючи до схеми закон Ома для електричного кола, визначимо загальний струм джерела:

_{^(°+)=ио+)=--^г.}

'і ^{+ І}2

Струм у гілці з конденсатором унаслідок її розриву /_Су (0₊) = 0. Відповід­но падіння напруг на елементах за законом Ома для ділянки кола будуть такими:

ит

1 ^'2

«Су(0₊) = ^у(0₊М= - \

ьу(о₊) = і^Л^-(о₊)=о.

Вмк і(0)

£с(0)

С

ис(0)

Ґ

Обхід <

С хему струмів у гілках і напруг на г₂ елементах під нас комутації електрич- Г~ -ного кола/(0) наведено на рис. 7.45. + V г

г «і.(0)

Обхід

АО)

Відповідно до довільно вибраних (^Р) °,⁶ напрямків струмів у гілках та напрям- Ът ^- ків обходу незалежних контурів скла- даємо за правилами Кірхгофа систему незалежних диференціальних рівнянь Рис. 7.45

для миттєвих значень напруг і струмів

вузлів. Складена система дасть змогу визначити струми і напруги на прий­мачах, а також їхні похідні в момент комутації/(0).

Під час розв'язання системи рівнянь враховують перший і другий за­кони комутації. Тоді

'■(о)=і(°)+'с(о);

/(0)^+4.(0)1)+І-^(0) = 17;

-і](в)-і(»)^«с(о)=о-

Згідно з першим законом комутації і_ь (0) = (0_) = 17/(г\ + г₂), згідно з другим законом и_с (0) = и_с (0_) = 0. Урахувавши їх, маємо систему рівнянь

+

_и

г_х +г₂

і(0)г₂ +

+'с(°);

сій

1 ^2

'(0)<

1-^(0) = «7;

сії

СІЇ ⁴ ' г_л +ъ

= 0.

Розв'язуючи систему, визначимо незалежні початкові й залежні умови:

Щ+г₂)'

і

и

(0)

и

^г2 г₂{г_{+г₂) г₂(г₁₊г₂) г₂

г₂ г,+г₂ г₂(г₁ + г₂)

Щоб визначити вільні складові струму і напруг, складемо систему рівнянь кола, справедливу для будь-якого моменту часу:

СЇІ

сіі

-/У '} - - и п + и_п = 0

З третього рівняння системи визначимо напругу на конденсаторі

її

та його похідну

йіАп , СІ"І

сіґ

З другого рівняння системи визначимо струм джерела живлення

- V >]

^Г2

Гп іь ъ аі

Підставивши ці вирази у перше рівняння, отримаємо неоднорідне ди­ференціальне рівняння з невідомою величиною — струмом у котушці індуктивності:

_{и >ь}

;

^г2 '2

сіґ

сіі ^_0'

або у вигляді

_а

V

О,

+

СІІ

і \ (їй

'2 )

(

К^ґ2 )

и

йі

2 Щ .

Замінивши змінну ■ - = р , - = р, ^ =1, отримаємо характерис-

тичне рівняння електричного кола

СЬг₂ р" + (Сг_хг₂ +Ь)р + (/] +г₂) = 0,

корені якого

Р\

-(0,г₂ + і) + уі(Сг_іг2 +1)² -4С»₂ (г, + г₂) _

2СХ/ь

Якщо корені р_{ та р₂ — неоднакові дійсні числа, то перехідний про­цес буде аперіодичним і напруга на конденсаторі становитиме

Постійні інтегрування Л_х та Л₂ визначимо з урахуванням НПУ та друго­го закону комутації и_с (0) = и_с (0_) - 0, для яких повний розв'язок для мо­менту часу і - 0 набере вигляду

Г_х+І"2

Оскільки дві постійні інтегрування з одного розв'язку визначити не­можливо, складемо додаткове рівняння, взявши похідну від виразу повної напруги на конденсаторі. Тоді

З урахуванням залежних початкових умов

сїі ^{У }} С Сг₂(г_х+г₂У

/її і

де і_г =С ^с, додаткове рівняння відповідає будь-якому моменту часу, зокрема моменту / = 0:

Сумісне розв'язання рівнянь //_с(0) та ^ (0) щодо постійних інте-

с сіі

грування дає

Р\

А

( Щ А ип

— ¹— — А

^г\+г₂

звідки

иг_х ( і ^

/Тг\ — ¹ — ™

Рі ~ Р\

(

1

■ +

_А-

Р2~Р]

_кСг₂

Повний розв'язок у загальному вигляді такий:

+ Р]

1

1

Р2 ~ Р]

1 +

г_х + г₂

Р2~Р\

Інші величини визначають так:

/_с(0 = с

_{'К0='(0-'с(0;}

_Ч

астина ₂

електричні трифазні кола змінного струму

8.1. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ

Трифазним електричним колом називають сукупність електричних кіл, в яких діють три однофазні синусоїдні електрорушійні сили однакової часто­ти, що відрізняються за фазою і виробляються спільним джерелом енергії — електромашинним трифазним генератором.

Робота трифазного генератора, які однофазного, ґрунтується на індук­ційній дії обертового магнітного поля. Пристрій електромашинного три­фазного генератора синусоїдного струму наведено на рис. 8.1

У пазах на статорі 1 генератора розміщено три окремі нерухомі ко­тушкові обмотки, які мають назву фаз генератора і позначені відповідно в—у, С—і- Ротор — постійний магніт 2, який під дією зовнішньої сили обертається з незмінною кутовою частотою в розточці статора і власним магнітним полем наводить у нерухомих котушках три синусоїдні фазні елек­трорушійні сили:

Є А-х=^еА'^=ЕтАЬ^тШ> е_с^=е_с=Е_тСїт(Ш~240°).

У наслідок просторового зсуву по-

ви м зсувом на третину періоду обертан­ня ротора (Г/3), або на 2я/3 радіан. Часові діаграми індукованих електро­рушійних сил наведено на рис. 8.2, а, а векторну діаграму діючих ЕРС — на рис. 8.2, б, з якої видно, що вони утво-

р юють трипроменеву зірку фазних ЕРС або, в разі потреби, їх рівнобіч­ний трикутник.

Якщо фази генератора виконано однаковими і розміщені вони під про­сторовим кутом 120°, то можна вважати, що амплітудні значення наведе­них ЕРС однакові, тобто Е^ = Е_тВ = Е_тС = Е_т, часові кути зсуву їх між

собою ц>_А = (р^ = ц>_с = 2 л;/З, комплексна сума амплітудних значень елек- трорушійних сил Трифазну систему електрорушійних сил, яка задовольняє наведені вище умови, називають симетричною системою.

8.2. СИМЕТРИЧНА ТРИФАЗНА СИСТЕМА ЕЛЕКТРОРУШІЙНИХ СИЛ

Миттєві значення електрорушійних сил окремих фаз симетричної три­фазної системи можна подати:

• у вигляді системи тригонометричних рівнянь

е_в =Е_т 5іп(со/-120°); е_с =£_т8Іп(со/ -240°);

• у вигляді часових функцій е_А = ^(со/), е_в = ^(со/), е_с = Е(юі) (рис. 8.3, а). Миттєві значення електрорушійних сил можна знайти для будь-якого

моменту часу, побудувавши векторну діаграму ЕРС і проекцію амплітуд

(комплексів) векторів Е_т на вісь ординат} або у. Так, для моменту і - 0 (рис. 8.3, б) миттєві значення електрорушійних сил трифазної системи

Векторну діаграму симетричної трифазної системи діючих значень ЕРС генератора можна подати яку вигляді відповідно трипроменевої зірки (рис. 8.4, а), так і у вигляді рівнобічного трикутника (рис. 8.4, б).

138

а

б

Рис. 8.3

Е_А

З векторних діаграм видно,

що: _ „ _

Е_л+Е_в+Е_с=0;

Е_А + Е_в + Е_с^0,

тобто векторна чи комплексна су­ма симетричної трифазної систе­ми ЕРС дорівнює нулю. Що сто­сується миттєвих значень цих сил, то їх алгебрична сума для будь-якого моменту часу також дорів­нює нулю:

е_А^+еВ^+еС=°­

а

Рис. 8.4

б

_й

2

Так, для моменту часу ґ= 0 отримаємо (рис. 8.3, а):

ґ

0Е_{т +}

V

Діючі значення електрорушійних сил симетричної трифазної системи можна подати в експоненційному вигляді або з урахуванням фазового опе­ратора (комплексного помножувача):

Е_А=Ее^]0=Е;

Е_в=Е^^Ш=Е^^Ш=а²Е; Е_с=Ее-^° = Е^^Ш=аЕ, де фазовий оператор, або комплексний помножувач, становить

а

= =1-со$120° + ./$т120° =

7^2

^Ґ І. V 2

Е_А

а

Ее \£_й

Еа

фаз б

П омноження вектора на фа- зовий оператор а відповідає по- вертанню вектора на кут 120° в напрямку обертання вектора — проти часової стрілки. Відпо- їв ^ч^с відно помноження на а¹ озна- Зворотна ^ чає повертання вектора на кут послідовність 240° проти часової стрілки.

Аналізуючи фазовий опера­тор, можна простежити його Рис. 8.5 властивості;

2 "^У'2

а² = є^у240 -соз240° + /вій240° = (---і^-

сс

../360 о

2⁺⁷ 2

що в разі застосування для симетричної зірки електрорушійних сил дає

Е _А + Е_В+Е_С =Е(\ + а² + а^=

звідки 1 + а² + а = 0.

Кожна трифазна система електрорушійних сил, напруг, струмів харак­теризується певною послідовністю, або порядком чергування фаз. Порядок чергування вважають прямим, якщо ЕРС кожної наступної фази відстає від попередньої фази на кут 120° [зворотним, якщо ЕРС кожної наступної фази випереджає попередню фазу на кут 120° (рис. 8.5).